Bài 104622

Question

1) a và

$b > 0$ là hằng số x và

$y > 0$ là biến số, thỏa mãn điều kiện

$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ . Tìm min

$S = x + y$
2) Giả sử

$x(x - 1) + y(y - 1) + z(z - 1) \le \frac{4}{3}$ . Tìm max, min của

$A = x + y + z$ . Tìm max của

$B = {x^2} + {y^2} + {z^2}$
3) Với

$x,y,z > 0$ và

$x + y + z = 1$ . Tìm min

$A = \frac{x + y}{xyz}$
4) Với

$x > y > 0$ , tìm min

$B = x + \frac{1}{{xy(x - y)}}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/17/2012 4:36:16 PM

1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để làm xuất hiện

$x + y$ và

$\frac{a}{x} + \frac{b}{y}$

${\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt x }}.\sqrt x + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt y }}.\sqrt y } \right)^2} \le \left( {\frac{a}{x} + \frac{b}{y}} \right)\left( {x + y} \right) = x + y$
Dấu bằng xảy ra khi :

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt x }}:\sqrt x = \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt y }}:\sqrt y \\ \frac{a}{x} + \frac{b}{y}=1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt a }}{x} = \frac{{\sqrt b }}{y}\\ \frac{a}{x} + \frac{b}{y}=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt a \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ y = \sqrt b \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \end{array} \right.$
2) a) Để làm xuất hiện

$A = x + y + z$ , ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc

${x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{1}{3}{(x + y + z)^2}$ , chú ý đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow x=y=z$
Và viết

$\frac{4}{3} \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) \ge \frac{1}{3}{(x + y + z)^2} - (x + y + z)$

$\Rightarrow \frac{4}{3} \ge \frac{1}{3}{A^2} - A \Rightarrow {A^2} - 3A - 4 \le 0 \Rightarrow - 1 \le A \le 4$

$A = - 1 \Leftrightarrow x = y = z =- \frac{1}{3}$

$A = 4 \Leftrightarrow x = y = z = \frac{4}{3}$
Vậy min

$A = - 1$ , max

$A = 4$
b) Để làm xuất hiện

$B = {x^2} + {y^2} + {z^2}$ , ta có

$\frac{4}{3} \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} - \sqrt {3({x^2} + {y^2} + {z^2})}$
hay

$B - \sqrt 3 .\sqrt B - \frac{4}{3} \le 0 \Rightarrow ( \sqrt B + \frac{1}{{\sqrt 3 }} )( \sqrt B - \frac{4}{{\sqrt 3 }} ) \le 0 \Rightarrow \sqrt B \le \frac{4}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow B \le \frac{{16}}{3}$

$B = \frac{{16}}{3}$ chẳng hạn khi

$x = y = z = \frac{4}{3}$ . Vậy

$\max B = \frac{{{\rm{16}}}}{{\rm{3}}}$
3) Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức dạng

$\left ( P+Q \right )^2 \ge 4PQ$ , đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow P=Q$ .

$A = \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{{4(x + y)}}{{{{(x + y)}^2}.z}} = \frac{4}{{\left( {x + y} \right).z}} \ge \frac{{16}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}} = 16$
Đẳng thức xảy ra khi

$\left\{ \begin{array} x=y \\ x+y=z\\x+y+z=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{4}.z = \frac{1}{2}$ . Vậy

$\min A = 16$
4) Áp dụng bất đẳng thức dạng

$\left ( P+Q \right )^2 \ge 4PQ$ , đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow P=Q$ và Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) cho bốn số dương ta được

$B \ge x + \frac{{4}}{{x.{{(y + x - y)}^2}}} = x + \frac{4}{{{x^3}}} = \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{4}{{{x^3}}} \ge 4.\sqrt[4]{{\frac{4}{{27}}}}$

$B =4. \sqrt[4]{{\frac{4}{{27}}}}$ khi

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{3} = \frac{4}{{{x^3}}}\\ y = x - y \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt[4]{{12}},y = \frac{1}{2}\sqrt[4]{{12}}$
Vậy

$\min B = 4.\sqrt[4]{{\frac{4}{{27}}}}$

Bài 104622

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104622

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan