Bài 104496

Question

Cho tam giác $ABC$ có $3$ góc thỏa mãn điều kiện $A > B > C$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
$f(x) = \sqrt {\frac{{x - \sin A}}{{x - \sin C}}} + \sqrt {\frac{{x - \sin B}}{{x - \sin C}}} - 1$
Từ đó suy ra phương trình sau có và chỉ có một nghiệm:
$\sqrt {x - \sin A} + \sqrt {x - \sin B} = \sqrt {x - \sin C} $

score 0 · Answer 1

$f(x) = \sqrt {\frac{{x - \sin A}}{{x - \sin C}}} + \sqrt {\frac{{x - \sin B}}{{x - \sin C}}} - 1$
Vì $A, B, C$ là $3$ góc của tam giác nên bất đẳng thức $A > B > C \Leftrightarrow a> b > c \Leftrightarrow sinA > sinB > sinC (1)$
* TXĐ của $f(x) là x < sinC; x \ge \sin A$
* $f'(x) = \frac{{\sin A - \sin C}}{{2{{(x - \sin C)}^2}}}\sqrt {\frac{{x - \sin C}}{{x - \sin A}}}
+ \frac{{\sin B - \sin C}}{{2{{(x - \sin C)}^2}}}\sqrt {\frac{{x - \sin C}}{{x - \sin B}}} > 0$ do ($1$)
Lâp bảng biến thiên:

$*$) Phương trình: $\sqrt {x - \sin A} - \sqrt {x - \sin B} = \sqrt {x - \sin C} $ có tập xác định là $x \ge \sin A$ nên tương đương với:
$\sqrt {\frac{{x - \sin A}}{{x - \sin C}}} + \sqrt {\frac{{x - \sin B}}{{x - \sin C}}} - 1 = 0
\Leftrightarrow f(x) = 0$
Với điều kiện $x \ge \sin A$ từ bảng biến thiên $f(x)$ suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 104496

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104496

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan