Bài 104322

Question

Giải và biện luận bất phương trình sau theo $m$:
a) $(m^2+1)x^2-2(m+1)x+1>0$ b) $\frac{3x-m}{3-x}>1$

score 0 · Answer 1

Giải
a) $f(x)=(m^2+1)x^2-2(m+1)x+1>0$
$a=m^2+1>0 \forall m, \Delta'=2m$
* $m<0 : \begin{cases}a>0 \\ \Delta'<0 \end{cases} \Rightarrow f(x)>0, \forall x$.
Vậy phương trình có tập nghiệm là $R$.
* $m=0: \begin{cases}a>0 \\ \Delta'=0 \end{cases} \Rightarrow f(x)$ có nghiệm kép $x=\frac{m+1}{m^2+1}=1 \Rightarrow f(x)\geq 0, \forall x$
Vậy bất phương trình có nghiệm $x\neq 1$.
( Có thể thế $m=0$ và giải trực tiếp :
     $ x^2-2x+1>0 \Leftrightarrow (x-1)^2>0 \Leftrightarrow x\neq 1).$
* $m>0 : \begin{cases}a>0 \\ \Delta'>0 \end{cases} \Rightarrow f(x)$ có hai nghiệm:
    $x_1=\frac{m+1-\sqrt{m}}{m^2}+1, x_2=\frac{m+1+\sqrt{m}}{m^2}+1 (x_1<x_2)$
Bất phương trình có nghiệm: $x<x_1$ hay $x>x_2$
* Kết luận: $m<0 : x\in R; m=0 : x\in R\{1\left.\right \} ; m>0$
      $x<x_1=\frac{m+1-\sqrt{m}}{m^2}+1$ hay $x>x_2=\frac{m+1+\sqrt{m}}{m^2}+1$

b) $\frac{3x-m}{3-x}>1 \Leftrightarrow \frac{3x-m}{3-x}-1>0 \Leftrightarrow \frac{4x-m-3}{-x+3}>0$
Ta có: $4x-m-3=0 \Leftrightarrow x_1=\frac{m+3}{4}$ và $-x+3=0 \Leftrightarrow x_2=3$
Dấu của vế trái là dấu của tam thức $(4x-m-3)(-x+3)$ với hệ số.
        $a=-4<0$
Do đó bất phương trình thỏa mãn với mọi $x\in $ khoảng giữa hai nghiệm, (nếu có).
Ta xét các trường hợp sau:
* $x_1<x_2 \Leftrightarrow \frac{m+3}{4}<3 \Leftrightarrow m<9$: Bất phương trình có nghiệm $x_1<x<x_2$
* $x_1>x_2 \Leftrightarrow \frac{m+3}{4}>3 \Leftrightarrow m>9$: Bất phương trình có nghiệm $x_2<x<x_1$
* $x_1=x_2 \Leftrightarrow m=9$ : Bất phương trình vô nghiệm.
Kết luận   $m<9 : \frac{m+3}{4}<x<3; m>9 : 3<x<\frac{m+3}{4}$
               $m=9 : x\in \varnothing $

Bài 104322

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104322

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc hai và các bài toán liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc cao

Lý thuyết liên quan