Bài 104311

Question

$1$. Giải bất phương trình:
$\sqrt {{x^2} + x - 2} + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \le \sqrt {{x^2} + 4x - 5} $
$2$. Cho $x, y, z$ là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [$0;2]$. Chứng minh rằng:
$2(x + y + z) – (xy + yz + zx) \le 4$
$3$. Chứng minh rằng với mọi số $u, v$ thỏa mãn điều kiện $u \le v$, ta luôn có:
${u^2} - 3u \le {v^3} - 3v + 4$

score 0 · Answer 1

$\begin{array}{l}
1.\,\,\,\sqrt {{x^2} + x - 2} + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \le \sqrt {{x^2} + 4x - 5} \\
\Leftrightarrow \sqrt {(x - 1)(x + 2)} + \sqrt {(x - 1)(x + 3)} \le \sqrt {(x - 1)(x + 5)} \,\,\,(1)
\end{array}$
ĐK: $\left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le - 5
\end{array} \right.$
+ $ x = 1$ bất phương trình được nghiệm đúng.
+ $x > 1$
$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 3} \le \sqrt {x + 5} \\
\Leftrightarrow 2x + 5 + 2\sqrt {(x + 2)(x + 3)} \le x + 5
\end{array}$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt {(x + 2)(x + 3)} \le - x\,$(không thỏa mãn với mọi $x > 1)$
+ $x \le - 5$

$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow \sqrt {(1 - x)( - x - 2)} + \sqrt {(1 - x)( - x - 3)} \le \sqrt {(x - 1)( - x - 5)}
\\
\Leftrightarrow \sqrt { - x - 2} + \sqrt { - x - 3} \le \sqrt { - x - 5} \\
\Leftrightarrow - 2x - 5 + 2\sqrt {(x + 2)(x + 3)} \le - x - 5
\end{array}$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt {(x + 2)(x + 3)} \le x\,$(không thỏa mãn $\forall x \le - 5$
$ \Rightarrow $ $x = 1.$
$2$. Do giả thiết: $x, y, z \in {\rm{[}}0;2]$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow (2 - x)(2 - y)(2 - z) \ge 0\\
\Rightarrow 8 - 4(x + y + z) + 2\left( {xy + yz + zx} \right) - xyz \ge 0\\
\Rightarrow 4 \ge 2(x + y + z) - (xy + yz + zx) + \frac{1}{2}xyz\\
\ge 2(x + y + z) - (xy + yz + zx)
\end{array}$
Đẳng thức xảy ra khi $x = 2; y = z = 0.$
$3$. Xét đồ thị ở câu $I$, ta thấy:
$\begin{array}{l}
+ {\rm{ Nếu}} \le {\rm{ - 2 thì }}\forall {\rm{v}} \ge {\rm{u ta đều có :}}\\
{\rm{f(u)}} \le {\rm{ - 2}} \le {\rm{f(v) < f(v) + 4}}\\
\Rightarrow {{\rm{u}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3u < }}{{\rm{v}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3v + 4}}\\
{\rm{ + Nếu }} \ge {\rm{ 2 thì }}\forall {\rm{u < v ta đều có : f(u) }} \le
{\rm{ f(v) < f(v) + 4}}\\
\Rightarrow {{\rm{u}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3u < }}{{\rm{v}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3v +
4}}\\
{\rm{ + Nếu }}\left\{ \begin{array}{l}
- 2 < u < 2\\
v \ge 2
\end{array} \right.{\rm{ thì f(u) < 2 }} \le {\rm{f(v) < f(v) + 4}}\\
\Rightarrow {{\rm{u}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3v < }}{{\rm{v}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3v + 4}}\\
{\rm{ + Nếu - 2 < u }} \le {\rm{ v < 2 thì :}}\\
{\rm{f(u) - f(v) }} \le \left| {f(u) - f(v)} \right| \le 4 \Rightarrow f(u) \le f(v) + 4\\
\Rightarrow {u^3} - 3u \le {v^3} - 3v + 4
\end{array}$

Bài 104311

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104311

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan