Bài 104311

Question

$1$ . Giải bất phương trình:

$\sqrt {{x^2} + x - 2} + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \le \sqrt {{x^2} + 4x - 5}$

$2$ . Cho

$x, y, z$ là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [

$0;2]$ . Chứng minh rằng:

$2(x + y + z) – (xy + yz + zx) \le 4$

$3$ . Chứng minh rằng với mọi số

$u, v$ thỏa mãn điều kiện

$u \le v$ , ta luôn có:

${u^2} - 3u \le {v^3} - 3v + 4$

score 0 · Answer 1

$\begin{array}{l} 1.\,\,\,\sqrt {{x^2} + x - 2} + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \le \sqrt {{x^2} + 4x - 5} \\ \Leftrightarrow \sqrt {(x - 1)(x + 2)} + \sqrt {(x - 1)(x + 3)} \le \sqrt {(x - 1)(x + 5)} \,\,\,(1) \end{array}$
ĐK:

$\left[ \begin{array}{l} x \ge 1\\ x \le - 5 \end{array} \right.$
+

$x = 1$ bất phương trình được nghiệm đúng.
+

$x > 1$

$\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 3} \le \sqrt {x + 5} \\ \Leftrightarrow 2x + 5 + 2\sqrt {(x + 2)(x + 3)} \le x + 5 \end{array}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt {(x + 2)(x + 3)} \le - x\,$ (không thỏa mãn với mọi

$x > 1)$
+

$x \le - 5$

$\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow \sqrt {(1 - x)( - x - 2)} + \sqrt {(1 - x)( - x - 3)} \le \sqrt {(x - 1)( - x - 5)} \\ \Leftrightarrow \sqrt { - x - 2} + \sqrt { - x - 3} \le \sqrt { - x - 5} \\ \Leftrightarrow - 2x - 5 + 2\sqrt {(x + 2)(x + 3)} \le - x - 5 \end{array}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt {(x + 2)(x + 3)} \le x\,$ (không thỏa mãn

$\forall x \le - 5$

$\Rightarrow$

$x = 1.$

$2$ . Do giả thiết:

$x, y, z \in {\rm{[}}0;2]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (2 - x)(2 - y)(2 - z) \ge 0\\ \Rightarrow 8 - 4(x + y + z) + 2\left( {xy + yz + zx} \right) - xyz \ge 0\\ \Rightarrow 4 \ge 2(x + y + z) - (xy + yz + zx) + \frac{1}{2}xyz\\ \ge 2(x + y + z) - (xy + yz + zx) \end{array}$
Đẳng thức xảy ra khi

$x = 2; y = z = 0.$

$3$ . Xét đồ thị ở câu

$I$ , ta thấy:

$\begin{array}{l} + {\rm{ Nếu}} \le {\rm{ - 2 thì }}\forall {\rm{v}} \ge {\rm{u ta đều có :}}\\ {\rm{f(u)}} \le {\rm{ - 2}} \le {\rm{f(v) < f(v) + 4}}\\ \Rightarrow {{\rm{u}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3u < }}{{\rm{v}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3v + 4}}\\ {\rm{ + Nếu }} \ge {\rm{ 2 thì }}\forall {\rm{u < v ta đều có : f(u) }} \le {\rm{ f(v) < f(v) + 4}}\\ \Rightarrow {{\rm{u}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3u < }}{{\rm{v}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3v + 4}}\\ {\rm{ + Nếu }}\left\{ \begin{array}{l} - 2 < u < 2\\ v \ge 2 \end{array} \right.{\rm{ thì f(u) < 2 }} \le {\rm{f(v) < f(v) + 4}}\\ \Rightarrow {{\rm{u}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3v < }}{{\rm{v}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 3v + 4}}\\ {\rm{ + Nếu - 2 < u }} \le {\rm{ v < 2 thì :}}\\ {\rm{f(u) - f(v) }} \le \left| {f(u) - f(v)} \right| \le 4 \Rightarrow f(u) \le f(v) + 4\\ \Rightarrow {u^3} - 3u \le {v^3} - 3v + 4 \end{array}$

Bài 104311

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104311

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan