Bài 103890

Question

Cho

$n$ số dương

$x_{1},x_{2},...,x_{n}(n \geq 2)$ thỏa mãn:

$x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=1$
Tìm giá trị lớn nhất của S:

$S=x^{a_{1}}_{1}.x^{a_{2}}_{2}...x^{a_{n}}_{n}$
Trong đó:

$a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là

$n$ số dương cho trước.

score 0 · Answer 1

Đặt:

$a=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}, b_{i}=\frac{a_{i}}{a}(i=1,2,...,n)$ thì

$b_{i}>0$ và:

$b_{1}+b_{2}+...+b_{n}=1$
Áp dụng BĐT Cauchy suy rộng :

$(\frac{x_{1}}{a_{1}})^{b_{1}}.(\frac{x_{2}}{a_{2}})^{b_{2}}...(\frac{x_{n}}{a_{n}})^{b_{n}} \leq \frac{b_{1}}{a_{1}}.x_{1} +\frac{b_{2}}{a_{2}}.x_{2}+...+\frac{b_{n}}{a_{n}}.x_{n} =$

$= \frac{1}{a}(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})= \frac{1}{a}$

$\Rightarrow x_1^{b_1}.x_2^{b_2}…x_n^{b_n}\leq\frac{1}{a}.a_1^{b_1}.a_2^{b_2}…a_n^{b_n}$

$\Leftrightarrow S= x_1^{a_1}.x_2^{a_2}…x_n^{a_n}\leq\frac{1}{a^a}.a_1^{a_1}.a_2^{a_2}…a_n^{a_n}$

Dấu "=" xảy ra

$\Leftrightarrow$

$\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}=…=\frac{x_n}{a_n}=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{a_1+a_2+…+a_n}=\frac{1}{a}$ ( theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

$\Rightarrow x_i=\frac{a_i}{a}(\forall i=1, 2, …, n)$

Vậy:

$Max(S)= \frac{1}{a^a}.a^{a_{1}}_{1}.a^{a_{2}}_{2}...a^{a_{n}}_{n}$

Bài 103890

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103890

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan