|
|
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;3)$ và bán kính $R=1$.
Ta có ba cách giải sau:
Cách 1: Tiếp tuyến $(d)$ vuông góc với $(\Delta)$ có phương trình:
$(d):4x+3y+c=0$
Đường thẳng $(d)$ là tiếp tuyến của $(C)\Leftrightarrow d(I;(d))=R\Leftrightarrow \frac{|4.1+3.3+c|}{\sqrt{16+9}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c_1 = -18\\c_2 = -8\end{array} \right.$
Với $c_1=-18$, ta được tiếp tuyến $(d_1):4x+3y-18=0$.
Với $c_2=-8$, ta được tiếp tuyến $(d_2):4x+3y-8=0$.
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến $(d_1),(d_2)$ tới $(C)$ thỏa mãn điều kiện đầu bài .
Cách 2:Giả sử tiếp điểm là $M(x_0;y_0)$, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
$$(d):x.x_0+y.y_0-(x+x_0)-3(y+y_0)+9=0$$
$$\Leftrightarrow (d):(x_0-1)x+(y_0-3)y-x_0-3y_0+9=0 (1)$$
Vì $M(x_0;y_0)\in(C)$
$$\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2-2x_0-6y_0+9=0 (2)$$
Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $(\Delta)$:
$$\Leftrightarrow 3.(x_0-1)-4(y_0-3)=0\Leftrightarrow 3x_0-4y_0+9=0 (3)$$
Giải hệ phương trình được tạo bởi $(2),(3)$ ta được:
$\left[ \begin{array}{l}x_0 = \frac{9}{5},y_0=\frac{18}{5}\\x_0 = \frac{1}{5},y_0=\frac{12}{5}\end{array} \right. $
* Với $M_1(\frac{9}{5},\frac{18}{5})$, thay vào $(1)$ ta được tiếp tuyến $(d_1):4x+3y-18=0$
* Với $M_2(\frac{1}{5};\frac{12}{5})$, thay vào $(1)$ ta được tiếp tuyến $(d_2):4x+3y-8=0$
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến $(d_1),(d_2)$ tới $(C)$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Cách 3: Họ tiếp tuyến $(d_1)$ của $(C)$ có dạng:
$(d_1):(x-1)\sin t+(y-3)\cos t=1$.
Đường thẳng $(d_1)$ vuông góc với $(\Delta)$ :
$\Leftrightarrow 3\sin t-4\cos t=0\Leftrightarrow \sin t=\frac{4\cos t}{3} \overset{\sin^2 t+ \cos^2 t=1}{\rightarrow} \begin{cases}\sin t=\frac{4\cos t}{3} \\ \frac{16\cos^2 t}{9}+\cos^2 t=1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\sin t=\frac{4\cos t}{3} \\ \cos t=\pm \frac{3}{5} \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos t=\frac{3}{5}, \sin t=\frac{4}{5} \\\cos t=-\frac{3}{5},\sin t=-\frac{4}{5} \end{array} \right. $
* Với $\cos t=\frac{3}{5}, \sin t =\frac{4}{5}$ , thay vào $(1)$ ta được:
$(d_1):4x+3y-18=0$ và tọa độ tiếp điểm là $M_1(\frac{9}{5};\frac{18}{5})$
* Với $\cos =-\frac{3}{5},\sin t=-\frac{4}{5}$, thay vào $(1)$ ta được:
$(d_2):4x+3y-8=0$ và tọa độ tiếp điểm là $M_2(\frac{1}{5};\frac{12}{5})$.
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến $(d_1),(d_2)$ tới đường tròn $(C)$ thỏa mãn đề bài.
|