Bài 102296

Question

Giải bất phương trình:
1. $|x^2-2x-8|>2x$
2. $|\frac{y^2-5y+4}{y^2-4}|\leq 1$

score 0 · Answer 1

1.$|x^2-2x-8|>2x\,\,\,\,\,(*)$
TH1: $x^2-2x-8 \geq \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x\geq 4 \\ x \leq -2 \end{gathered} \right. $
$(*) \Leftrightarrow x^2-2x-8>2x$
$\Leftrightarrow x^2-4x-8>0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x>2+2 \sqrt{3} \\ x<2-2 \sqrt{3} \end{gathered} \right. $
So với điều kiện ta được: $\left[ \begin{gathered} x>2+2 \sqrt{3} \\ x \leq -2 \end{gathered} \right. $
TH2: $x^2-2x-8<0 \Leftrightarrow -2<x<4$
$(*) \Leftrightarrow -(x^2-2x-8)>2x$
$\Leftrightarrow x^2-8<0$
$\Leftrightarrow -2 \sqrt{2}<x<2 \sqrt{2} $
Kết hợp điều kiện ta được: $-2<x<2 \sqrt{2} $
Kết hợp lại ta được tập nghiệm của bất phương trình:
$S=(-\infty ; 2 \sqrt{2} ) \cup (2+2 \sqrt{3}; + \infty )$

score 0 · Answer 2

1. $|x^2-2x-8|>2x\,\,\,\,\,(*)$
* Nếu $x<0$ thỏa mãn bpt, vậy $x<0$ là nghiệm của bpt $(*)$
* Nếu $x \geq 0$ ta có:
$(*) \Leftrightarrow (x^2-2x-8)^2-4x^2>0$
$\Leftrightarrow (x^2-4x-8)(x^2-8)>0$
Sử dụng phương pháp khoảng xét dấu vế trái ta được:
$x^2-4x-8$ có hai nghiệm: $x=2\pm 2 \sqrt{3} $
$x^2-8$ có hai nghiệm: $x=\pm 2 \sqrt{2} $

Vậy nghiệm thu được: $(-\infty ; -2 \sqrt{2} ) \cup (2-2 \sqrt{3}; 2 \sqrt{2} ) \cup (2+2 \sqrt{3}; + \infty )$
Kết hợp điều kiện $x \geq 0$ ta được: $x \in [0;2 \sqrt{2}) \cup (2+2 \sqrt{3}; + \infty ) $
Kết hợp lại ta được tập nghiệm của bất phương trình:
$S=(-\infty ;2 \sqrt{2} ) \cup (2+2 \sqrt{3}; + \infty )$
2. Bất phương trình đã cho tương đương với:
$-1 \leq \frac{y^2-5y+4}{y^2-4} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{y^2-5y+4}{y^2-4}-1 \leq 0 \\ \frac{y^2-5y+4}{y^2-4}+1 \geq 0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{8-5y}{y^2-4} \leq 0 \,\,\,\,(*) \\ \frac{2y^2-5y}{y^2-4} \geq 0\,\,\,\,\,(**) \end{cases} $
Sử dụng xét dấu bằng phương pháp khoảng ta được:
Dấu vế trái $(*) $

Nghiệm của $(*)$ $S_1=(-2; \frac{8}{5} ] \cup (2;+ \infty )$
Dấu của vế trái $(**)$:

Nghiệm của $(**)$:
$S_2=(-\infty ;-2)\cup [0;2) \cup [\frac{5}{2}; + \infty )$
Kết hợp lại ta được nghiệm của bất phương trình:
$S=[0;\frac{8}{5} ] \cup [\frac{5}{2}; + \infty )$

Bài 102296

2 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102296

2 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc hai và các bài toán liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc cao

Lý thuyết liên quan