Bài 101630

Question

$a,b,c$ là các cạnh của

$\triangle ABC$ và

$S$ là diện tích.Chứng minh rằng:

$ab+bc+ca\geq 4S\sqrt{3}$
Dấu "=" xảy ra khi nào?

score 0 · Answer 1

Ta đã biết BĐT:

$0<\sin A.\sin B.\sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}(1)$
Áp dụng BĐT Cauchy:

$ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{\left ( abc \right )^{2}}\geq \frac{3abc}{\sqrt[3]{abc}}$
Mà:

$abc=8R^{3}\sin A.\sin B.\sin C\leq8R^{3}\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{3}=\left ( \sqrt{3}R\right )^{3}$

$\Rightarrow ab+bc+ca\geq \frac{3abc}{\sqrt{3}R}=4S\sqrt{3}$
Dấu "=" xảy ra

$\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều.

(Chứng minh (1) : Vì

$\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\in (0;180^o)$

$\Rightarrow sinA, sinB, sinC>0\Rightarrow sinAsinBsinC>0$
Ta sẽ chứng minh :

$sinA+sinB+sinC\leq\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Thật vậy : Xét

$f(x)=sinx, x\in(0;\pi)$

$f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx<0, \forall x\in(0;\pi)$
Theo BĐT Jensen :

$f(A)+f(B)+f(C)\leq 3f(\frac{A+B+C}{3})$

$\Leftrightarrow sinA+sinB+sinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Theo BĐT Côsi :

$sinAsinBsinC\leq(\frac{sinA+sinB+sinC}{3})^3\leq\frac{3\sqrt{3}}{8}$

1 Đáp án