Ta đã biết BĐT: $0<\sin A.\sin B.\sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}(1)$
Áp dụng BĐT Cauchy:
$ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{\left ( abc \right )^{2}}\geq \frac{3abc}{\sqrt[3]{abc}}$
Mà: $abc=8R^{3}\sin A.\sin B.\sin C\leq8R^{3}\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{3}=\left ( \sqrt{3}R\right )^{3}$
$\Rightarrow ab+bc+ca\geq \frac{3abc}{\sqrt{3}R}=4S\sqrt{3}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều.
(Chứng minh
(1) : Vì $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\in (0;180^o)$
$\Rightarrow
sinA, sinB, sinC>0\Rightarrow sinAsinBsinC>0$
Ta sẽ chứng
minh : $sinA+sinB+sinC\leq\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Thật vậy :
Xét $f(x)=sinx, x\in(0;\pi)$
$f’(x)=cosx,
f’’(x)=-sinx<0, \forall x\in(0;\pi)$
Theo BĐT
Jensen :
$f(A)+f(B)+f(C)\leq
3f(\frac{A+B+C}{3})$
$\Leftrightarrow
sinA+sinB+sinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Theo BĐT
Côsi :
$sinAsinBsinC\leq(\frac{sinA+sinB+sinC}{3})^3\leq\frac{3\sqrt{3}}{8}$