|
|
$x \ne \,\,0,\,\,\,\,\,a > 0\,\,\,\,\,\,\,(*)$
$(1)$$ \Leftrightarrow \,\,\,{\log _{{x^2} + 1}}a{x^2} \ge 2$
$ \Leftrightarrow \,\,a{x^2} \ge {\left( {{x^2} + 1} \right)^2}$ ( vì cơ số ${x^2} + 1 > 1$)
$ \Leftrightarrow {x^4} + \left( {2 - a} \right){x^2} + 1 \le 0$ (*)
Đặt $t = {x^2},\,\,\,t > 0$ (vì $x \ne 0$)
Ta có (*) trở thành: ${t^2}+\left( {2 - a} \right)t + 1 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
$(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $$(2)$ có nghiệm dương
$\Delta = {\left( {2 - a} \right)^2} - 4 = {a^2} - 4a$
$a \le 0:\,\,\,$không thỏa mãn (*)
$a = 4\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\Delta = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{t_1} = {t_2} = 1\,\,\, \Rightarrow (1)$ có nghiệm.
$0 < a < 4\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \Delta < 0\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,f(t) = {t^2} + \left( {2 - a} \right)t + 1 > 0,\,\,\,\forall t$
khi đó $(2)$ vô nghiệm $ \Rightarrow $ $(1)$ vô nghiệm
$a > 4\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\Delta > 0$ ta có :$\left\{ \begin{array}{l}
{t_1}.{t_2} = 1 > 0\\
{t_1} + {t_2} = a - 2 > 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow 0 < {t_1} < {t_2}$
$\Rightarrow (2)$ có các nghiệm dương ${t_1},\,{t_2}\,\,\,\,\, \Rightarrow $$(1)$ có nghiệm
Từ các trường hợp trên suy ra với $a \ge 4$ thì bất phương trình (1) có nghiệm.
|