Bài 101383

Question

Giải các bất phương trình :

$\begin{array}{l}
1)\,\,\,{\log _{\sin \frac{\pi }{3}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge 2\\
2)\,\,{\log _{\sin \frac{\pi }{6}}}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) \ge - 3\\
3)\,\,{\log _{\sin \frac{\pi }{{12}}}}\left( {\frac{1}{6}{x^2} - x + \frac{{35}}{{24}}} \right) \ge 0\\
4)\,\,{\log _{\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{4}}}\left( {4{x^2} - 16x + 15} \right) \ge - 2
\end{array}$

score 0 · Answer 1

$1)$
Điều kiện: $x^2-3x+2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x>2\\ x<1 \end{array} \right.$
Ta có $0 < \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1$ nên :
$\begin{array}{l}
{\log _{\sin \frac{\pi }{3}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge 2 \\
\Leftrightarrow 0<x^2-3x+2\leq \left ( \frac{\sqrt3}{2} \right )^2\\
\Leftrightarrow 0 < {x^2} - 3x + 2 \le \frac{3}{4}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 1\,\,\,;\,\,\,x > 2\\
\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{2} \le x < 1\\
2 < x \le \frac{5}{2}
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy nghiệm BPT đã cho là
$$ \left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{2} \le x < 1\\
2 < x \le \frac{5}{2}
\end{array} \right. $$
$2)$
ĐK: $x^2-4x+3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x>3\\ x<1 \end{array} \right.$
Ta có $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}<1$ nên BPT đã cho trở thành:
$x^2-4x+3\geq \left ( \frac{1}{2} \right )^{-3}$
$\Leftrightarrow x^2-4x+3\geq 8$
$\Leftrightarrow x^2-4x-5\geq 0$
$\Leftrightarrow (x-5)(x+1)\geq 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x\geq 5\\ x\leq -1\end{array} \right.$
Kết hợp với điều kiện vậy nghiệm BPT đã cho là
$$\left[ \begin{array}{l}
- 1 \le x < 1\\
3 < x \le 5
\end{array} \right.$$
$3)$
Điều kiện: $\frac{1}{6}x^2-x+\frac{35}{24}>0\Leftrightarrow 4x^2-24x+35>0\Leftrightarrow (2x-5)(2x-7)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x>\frac{7}{2}\\ x<\frac{5}{2} \end{array} \right.$
Ta có $\sin^2\frac{\pi}{12}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{2-\sqrt3}{4}\Rightarrow \sin\frac{\pi}{12}=\frac{ \sqrt{2-\sqrt3}}{2}<1$
BPT đã cho trở thành:
$ \frac{1}{6}x^2-x+\frac{35}{24} \leq 1$
$\Leftrightarrow 4x^2-24x+11\leq 0$
$\Leftrightarrow (2x-11)(2x-1)\leq 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{11}{2}$
Kết hợp với điều kiện vậy nghiệm BPT đã cho là $\left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{2} \le x < \frac{5}{2}\\
\frac{7}{2} < x\leq \frac{11}{2}
\end{array} \right.$
$4)$
Điều kiện: $4x^2-16x+15>0\Leftrightarrow (2x-3)(2x-5)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x>\frac{5}{2}\\ x<\frac{3}{2} \end{array} \right.$
Ta có $\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2\sqrt2}<1$ nên BPT đã cho trở thành
$4x^2-16x+15\leq \left ( \frac{1}{2\sqrt2} \right )^{-2}$
$\Leftrightarrow 4x^2-16x+7\leq 0$
$\Leftrightarrow (2x-1)(2x-7)\leq 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{7}{2}$
Kết hợp với điều kiện vậy nghiệm BPT đã cho là
$$\left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{2} \le x < \frac{3}{2}\\
\frac{5}{2} < x \le \frac{7}{2}
\end{array} \right.$$

Bài 101383

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101383

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan