|
|
Điều kiện: $2x > 0,\,\,2x \ne 1,\,\,{x^2} > 0,\,\,{x^2} \ne 1$
$\Rightarrow x \ne 0,\,x \ne \frac{1}{2}; x \ne 1,\,\,x > 0$
Đưa về cơ số 2 ta có:
$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_2}{2^6}}}{{{{\log }_2}2x}} + \frac{{{{\log }_2}{2^4}}}{{{{\log }_2}{x^2}}} \ge 3\\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{6}{{1 + {{\log }_2}x}} + \frac{4}{{{{\log }_2}{x^2}}} \ge 3
\end{array}$
Đặt $t = {\log _2}x$ta có:
$\begin{array}{l}
\frac{6}{{1 + t}} + \frac{2}{t} \ge 3\,\,\,\,\, \\\Leftrightarrow \frac{{8t + 2}}{{t\left( {t + 1} \right)}} \ge \frac{{3{t^2} + 3t}}{{t\left( {t + 1} \right)}}\\
\Leftrightarrow \frac{{ - 3{t^2} + 5t + 2}}{{t\left( {t + 1} \right)}} \ge 0 \\\Leftrightarrow - 1 < t \le - \frac{1}{3}\,\,\,
\\ \Leftrightarrow - 1 < {\log _2}x \le - \frac{1}{3} \\\Leftrightarrow 0 < t \le 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \Leftrightarrow 0 < {\log _2}x \le 2\,\,\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{6}{{1 + t}} + \frac{2}{t} \ge 3\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{8t + 2}}{{t\left( {t + 1} \right)}} \ge \frac{{3{t^2} + 3t}}{{t\left( {t + 1} \right)}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{ - 3{t^2} + 5t + 2}}{{t\left( {t + 1} \right)}} \ge 0
\end{array}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
*) - 3{t^2} + 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - \frac{1}{3}\\
t = 2
\end{array} \right.\\
*)\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1\\
t = 0
\end{array} \right.
\end{array}$
Xét dấu $f(t) = \frac{{ - 3{t^2} + 5t + 2}}{{t\left( {t + 1} \right)}}$bằng phương pháp khoảng
Các nghiệm của bất phương trình $f(t) \ge 0$là
$ - 1 < t \le - \frac{1}{3}$ hoặc $0 < t \le 2$
$\begin{array}{l}
*)- 1 < t \le - \frac{1}{3}\,\,\, \Leftrightarrow - 1 < {\log _2}x \le - \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x \le \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\\
*)0 < t \le 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 0 < {\log _2}x \le 2\,\, \Leftrightarrow 1 < x \le 4
\end{array}$
Nghiệm của bất phương trình là
$\left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{2} < x \le \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\\
1 < x \le 4
\end{array} \right.$
|