Bài 101307

Question

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc $Oxy$ cho họ đường tròn $\left( {{C_m}} \right):{x^2} + {y^2} - 2mx + 4my + 5{m^2} - 1 = 0$
$1$. Chứng minh rằng họ $\left( {{C_m}} \right)$ luôn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.
$2$. Tìm $m$ để $\left( {{C_m}} \right)$cắt đường tròn $(C)$: ${x^2} + {y^2} = 1$ tại hai điểm phân biệt $A, B$. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng $AB$ có phương không đổi.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 10:35:09 AM

$1$. Ta có $\left( {{C_m}} \right):{\left( {x - m} \right)^2} + {\left( {y + 2m} \right)^2} = 1 \Rightarrow \left( {{C_m}} \right)$ có tâm $I\left( {m; - 2m} \right);R = 1$
Tập hợp tâm $I$ là đường thẳng $\left( \Delta \right):y = - 2x$
Vì họ $\left( {{C_m}} \right)$có bán kính bằng nhau và tập hợp tâm $I$ là đường thẳng $\left( \Delta \right)$ nên luôn tồn tại hai đường thẳng cố định tiếp xúc với $\left( {{C_m}} \right)$
Hai đường thẳng này song song với $\left( \Delta \right)$ và cách $\left( \Delta \right)$ một đoạn bằng $1$ nên ta giả sử phương trình của chúng có dang: $y = - 2x + k$
Lấy một điểm $M$ bất kì thuộc một trong hai đường thẳng. Khi đó $M\left( {x; - 2x + k} \right)$. Suy ra khoảng cách từ M đến $\left( \Delta \right)$ là: $d\left( {M,\left( \Delta \right)} \right) = \frac{{| - 2{x_M} + {y_M}|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{| - 2{x_M} + 2{x_M} + k|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{|k|}}{{\sqrt 5 }}$
$d\left( {M,\left( \Delta \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow |k| = \sqrt 5 \Leftrightarrow k = \pm \sqrt 5 $

Vậy các đường trọn thuộc họ $\left( {{C_m}} \right)$ luôn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định
$y = - 2x + \sqrt 5 ;y = - 2x - \sqrt 5 $

$2$. Đường tròn $(C)$ có tâm $O (0, 0); R = 1$
Ta có $\left( {{C_m}} \right)$ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt $A, B$
$ \Leftrightarrow |R' - R| < OI < {R^2} + R \Leftrightarrow 0 < OI < 2 \Leftrightarrow 0 < \sqrt {5{m^2}} < 2 $
$\Leftrightarrow 0 \ne {m^2} < \frac{4}{5} \Leftrightarrow 0 \ne m < \frac{2}{{\sqrt 5 }}$

Bài 101307

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101307

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan