a) Tâm $I(2;-4), R=5$.
b) Đường tròn có phương trình: $(x-2)^2+(y+4)^2=25.$
Thế tọa độ $A(-1;0)$ vào vế trái, ta có:
$(-1-2)^2+(0+4)^2=3^2+4^2=25$
Vậy $A(-1;0)$ là điểm thuộc đường tròn.
Áp dụng công thức tiếp tuyến, ta được phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại $A$ là:
$(-1-2)(x-2)+(0+4)(y+4)=25 \Leftrightarrow 3x-4y+3=0$.
**Ta còn có thể giải như sau: Theo tính chất tiếp tuyến với đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm, ta có:
Vec-tơ $\overrightarrow{IA}=(-3;4) $
Tiếp tuyến đi qua $A(-1;0)$ và nhận $\overrightarrow{IA} $ làm một vec-tơ pháp tuyến nên có phương trình:
$-3(x+1)+4(y-0)=0 \Leftrightarrow 3x-4y+3=0$.
c) Đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $3x-4y+5=0$ nên $d$ có dạng $4x+3y+C=0$.
Đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $(C)$ thì khoảng cách từ tâm $I(2;-4)$ đến $d$ phải bằng bán kính đường tròn do đó $d(I,d)=5$
$\Rightarrow \frac{|4.2+3(-4)+C|}{\sqrt{4^2+3^2} }=5 \Rightarrow \frac{|C-4|}{5}=5 \Rightarrow |C-4|=25$
$\Rightarrow C-4=25 \Rightarrow C=29$ hoặc $C-4=-25 \Rightarrow C=-21$
Ta được hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu:
$d_1: 4x+3y+29=0$
$d_2: 4x+3y-21=0$.