Bài 101185

Question

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các đường thẳng:
$\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 4 + 2t\\
z = 3 + t
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = - 3u\\
y = 3 + 2u\\
z = - 2
\end{array} \right.$
a. Chứng minh rằng $(d_1)$ và $(d_2)$ chéo nhau.
b. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có đường kính là đoạn vuông góc chung của $(d_1)$ và $(d2)$.

score 0 · Answer 1

a. Đường thẳng (d1) qua M1( 1; -4; 3) và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0;2;1} \right)$
Đường thẳng (d2) qua M2( 0; 3;-2) và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;2;0} \right)$
Do đó : $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1;7; - 5} \right)$ và $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2; - 3;6} \right)$
Suy ra $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 49 \ne 0$. Vậy (d1) và (d2) chéo nhau.

b. Lấy A( 1; -4 + 2t; 3 + t) thuộc (d1) và B(-3u; 3 + 2u; -2) thuộc (d2). Ta có
$\overrightarrow {AB} = \left( { - 3u - 1;7 + 2u - 2t; - 5 - t} \right)$
A,B là giao của đường thẳng vuông góc chung của (d1) và (d2) với 2 đường thẳng này $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
14 + 4u - 4t - 5 - t = 0\\
9u + 3 + 14 + 4u - 4u = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = - 1\\
t = 1
\end{array} \right.$
Suy ra : A( 1; -2; 4) và B(3; 1; -2) $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 6} \right)$$ \Rightarrow $ AB = 7
Trung điểm I của $AB: ( 2; -\frac{1}{2}; 1)$
Mặt cầu (S) có tâm I và đường kính AB có phương trình: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{49}}{4}$

Bài 101185

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101185

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan