Bài 100733

Question

Tìm họ nguyên hàm: $I =\int \tan\left( x + \frac{\pi }{3} \right) \cot\left( x + \frac{\pi }{6} \right)dx$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/24/2012 5:09:13 PM

Ta có $\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{\pi }{6} + \sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right] $
$= \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} + c{\rm{os}}2x} \right) = \frac{1}{4}\left( {1 + c{\rm{os}}2x} \right)$
Và $c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + \sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right] = \frac{1}{4}\left( { - 1 + 2\cos 2x} \right)$
Do đó $I = \int {\frac{{2\cos 2x + 1}}{{2\cos 2x - 1}}} dx = \int {\left( {1 + \frac{2}{{2\cos 2x - 1}}} \right)dx = \int {dx} + 2\int {\frac{{dx}}{{2\cos 2x - 1}}} } = x + J$
Với $J = \int {\frac{{dx}}{{2\cos 2x - 1}}}$

Đặt $ t = tgx \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} = \left( {1 + {t^2}} \right)dx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}$
Và $2\cos 2x - 1 = \frac{{2\left( {1 - {t^2}} \right)}}{{1 + {t^2}}} - 1 = \frac{{1 - 3{t^2}}}{{1 + {t^2}}}$
$\Rightarrow J = \int {\frac{{dt}}{{1 - 3{t^2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int {\frac{{d\left( {\sqrt 3 t} \right)}}{{1 - {{\left( {\sqrt 3 t} \right)}^2}}}} } = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\int {\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt 3 t}} + \frac{1}{{1 - \sqrt 3 t}}} \right)} d\sqrt 3 t$
$ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 3 t}}{{1 - \sqrt 3 t}}} \right| + C = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 3 tgx}}{{1 - \sqrt 3 tgx}}} \right| + C$

Do đó $I = x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 3 tgx}}{{1 - \sqrt 3 tgx}}} \right| + C$

Bài 100733

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100733

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan