Bài 100385

Question

Giả sử phương trình ${x^3} - {x^2} + ax + b = 0$ có $3$ nghiệm thực phân biệt, chứng minh rằng ${a^2} + 3b > 0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/23/2012 6:03:13 PM

Giả sử phương trình ${x^3} - {x^2} + {\rm{ax}} + b = 0$ có $3$ nghiệm thực phân biệt ${x_{1,}}{x_{2,}}{x_3}$ . Theo định lý Viet, ta có ${x_1} + {x_2} + {x_3} = 1,{\rm{ }}{{\rm{x}}_1}{x_2} + {{\rm{x}}_2}{x_3} + {{\rm{x}}_3}{x_1} = a,{\rm{ }}{{\rm{x}}_1}{x_2}{x_3} = - b$

$ \Rightarrow {a^2} + 3b = {\left( {{{\rm{x}}_1}{x_2} + {{\rm{x}}_2}{x_3} + {{\rm{x}}_3}{x_1}} \right)^2} - 3{{\rm{x}}_1}{x_2}{x_3}$

$ = x_1^2x_2^2 + x_2^2x_3^2 + x_3^2x_1^2 + 2{x_1}x_2^2{x_3} + 2{x_1}{x_2}x_3^2 + 2x_1^2{x_2}{x_3} - 3{{\rm{x}}_1}{x_2}{x_3}$

$ = x_1^2x_2^2 + x_2^2x_3^2 + x_3^2x_1^2 + 2{x_1}{x_2}{x_3}\left( {{x_2} + {x_3} + {x_1}} \right) - 3{{\rm{x}}_1}{x_2}{x_3}$

$ = x_1^2x_2^2 + x_2^2x_3^2 + x_3^2x_1^2 - {{\rm{x}}_1}{x_2}{x_3} = x_1^2x_2^2 + x_2^2x_3^2 + x_3^2x_1^2 - {{\rm{x}}_1}
{x_2}{x_3}.\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)$

$ = \frac{1}{2}{\left( {{x_1}{x_2} - {x_2}{x_3}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {{x_2}{x_3} - {x_3}{x_1}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {{x_3}{x_1} - {x_1}{x_2}} \right)^2}$

$ = \frac{1}{2}x_2^2{\left( {{x_1} - {x_3}} \right)^2} + \frac{1}{2}x_3^2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + \frac{1}{2}x_1^2{\left( {{x_3} - {x_1}} \right)^2} \ge 0$

Nếu ${a^2} + 3b = 0$ thì phải có $x_2^2 = x_3^2 = x_1^2 = 0 \Rightarrow {x_2} = {x_3} = {x_1} = 0$ trái với giả thiết ${x_1},{x_2},{x_3}$ là $3$ nghiệm phân biệt. Vậy ${a^2} + 3b > 0$

Bài 100385

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100385

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan