Bài 102309

Question

Cho phương trình: $ x^3 + (m + 1)x^2 + 2(m - 2)x - 3m + 2 = 0 $
a. Định $m$ để phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt.
b. Với những giá trị nào của $m$ thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.
c. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $ y = x^3 + (m + 1)x^2 + 2(m - 2)x - 3m + 2 $ tiếp xúc với trục $Ox$.

score 0 · Answer 1

a. Phương trình (1) có tổng các hệ số triệt tiêu nên có nghiệm đặc biệt là x = 1.
Do đó : $ (1) \Leftrightarrow (x - 1)\left[ {{x^2} + (m + 2)x + 3m - 2} \right] = 0 $
Để (1) có 3 nghiệm dương phân biệt thì chỉ còn phương trình $ f\left( x \right) = (1) = {x^2} + (m + 2)x + 3m - 2 = 0 $ (2)
có 2 nghiệm dương phân biệt $ {x_1},{x_2} \ne 1 $
Giả sử $ 0 < {x_1} < {x_2} $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {(m + 2)^2} - 4(3m - 2) > 0\\
f(0) = 3m - 2 > 0\\
0 < \frac{{m + 2}}{2}\\
f(1) = 4m + 1 \ne 0
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 8m + 12 > 0\\
m > \frac{2}{3}\\
m > - 2;m \ne - \frac{1}{4}
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \frac{2}{3} < m < 2 \vee m > 6
\end{array} $

b. Phương trình có 1 nghiệm $ x = 1 < 2 $ .
Do đó để (1) có 3 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 thì chỉ cần phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt $ {x_1},{x_2} < 2 $ và khác 1.
Ta có:
$ \begin{array}{l}
m < 2 \vee m > 6\\
f\left( 2 \right) = 5m + 6 > 0\\
2 > \frac{{m + 2}}{2}\\
\Rightarrow - \frac{6}{5} < m < 2 \vee m > 6 \wedge m \ne - \frac{1}{4}
\end{array} $
c. Phương trình hoành độ điểm chung của đồ thị và trục hoành là : $ {x^3} + (m + 1){x^2} + 2(m - 2)x - 3m + 2 = 0 $ (1) $ \Leftrightarrow (x - 1)\left[ {{x^2} + (m + 2)x + 3m - 2} \right] = 0 $
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm số kép. $ x = 1 $ là nghiệm kép của (1) $ \Leftrightarrow {x^2} + (m + 2)x + 3m - 2 = 0 $ có nghiệm kép. $ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 + (m + 2) + 3m - 2 = 0\\
{m^2} - 8m + 12 = 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = - \frac{1}{4}\\
m = 2 \vee m = 6
\end{array} \right.
\end{array} $
Vậy ta phải có $ m \in \left\{ { - \frac{1}{4},2,6} \right\} $

Bài 102309

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102309

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan