a) Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm \(B(9 ; 6 ; 5) \)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 9 - t\\
y = 6 - 8t\\
z = 5 - 15t
\end{array} \right.$
b)
Cách 1: Đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1;3 ;-2) và có VTCP $\overrightarrow u =\left( {1;1;2} \right)$
Đường thẳng (d’) đi qua điểm M’(1 ;2 ;1) và có VTCP $\overrightarrow {u'} =\left( {2;1;1} \right)$
Ta có:
• $\overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 1;3} \right)$
• $\overrightarrow {MM'} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {2; - 1;3} \right)\left( {\left| {_1^1\;_1^2} \right|;\left| {_1^2\;_2^1} \right|;\left| {_2^1\;_1^1} \right|} \right) = - 8 \ne 0$
Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm)
Khi đó : $d\left( {\left( d \right),\left( {d'} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MM'} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{8}{{\sqrt {11} }}$
Cách 2: Ta thấy VTCP của (d) là
$\overrightarrow u =\left( {1;1;2} \right)$
VTCP của (d') là $\overrightarrow {u'} =\left( {2;1;1} \right)$
Giả sử tồn tại hệ số k $\neq $0 sao cho
$\overrightarrow u = k.
\overrightarrow {u'}$
Dễ thấy k không tồn tại , vậy $
\overrightarrow u$ & $\overrightarrow {u'}$ không cùng phương.
Nếu giả sử (d) cắt (d'), khi đó phương trình giao điểm là
$\left\{ \begin{array}{l}
t-1 = 1 + 2t'\\
t+3 = 2 + t'\\
2t-2 = 1 + t'
\end{array} \right.$
Dễ thấy hệ trên vô nghiệm nên (d) không cắt (d')
Vậy (d) và (d') chéo nhau .
Khoảng cách ta có thể tính như cách 1.