|
|
Trường hợp 1: $b=2\pi \Rightarrow \cos (a+ib)=\cos (a+i2\pi)=\cos a$, với mọi $i=1,2...,n$
Suy ra $Q=(n+1)\cos a$
Trường hợp 2: $b \neq 2\pi \Rightarrow \sin \frac{b}{2} \neq 0$
Từ công thức $2\sin \frac{b}{2}\cos X=\sin (X+\frac{b}{2})-\sin (X-\frac{b}{2})$ suy ra:
Với $X=a$, có $2\sin \frac{b}{2} \cos a=\sin(a+\frac{b}{2})-\sin (a-\frac{b}{2})$
Với $X=a+b$, có $2\sin \frac{b}{2} \cos (a+b)=\sin(a+\frac{3b}{2})-\sin (a+\frac{b}{2})$
Với $X=a+2b$, có $2\sin \frac{b}{2} \cos (a+2b)=\sin(a+\frac{5b}{2})-\sin (a+\frac{3b}{2})$
Với $X=a$, có $2\sin \frac{b}{2} \cos a=\sin(a+\frac{b}{2})-\sin (a-\frac{b}{2})$
Với $X=a$, có $2\sin \frac{b}{2} \cos a=\sin(a+\frac{b}{2})-\sin (a-\frac{b}{2})$
Với $X=a+(n-1)b$ có
$\sin \frac{b}{2}\cos[a+(n-1)b]=\sin(a+\frac{(2n-1)b}{2}-\sin(a+\frac{(2n-3)b}{2})$
Với $X=a+nb$, có
$2\sin \frac{b}{2}\cos(a+nb)=\sin(a+\frac{(2n+1)b}{2})-\sin(a+\frac{(2n-1)b}{2})$
Cộng theo từng vế các đẳng thức trên đặt $2\sin \frac{b}{2}$ làm nhân từ chung, lưu ý: ở vế phải có $\frac{n}{2}$ cặp biểu thức đối nhau (chúng bị triệt tiêu) ta có:
$2Q\sin \frac{b}{2}=\sin (a+\frac{(2n+1)b}{2})-\sin (a-\frac{b}{2})=2\cos (a+\frac{nb}{2})\sin \frac{(n+1)b}{2}$
$\Leftrightarrow Q=\frac{\cos (a+\frac{nb}{2}).\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2} }$. Tóm lại:
* $Q=(n+1)\cos a$, nếu $b=k2\pi$
* $Q= \frac{\cos (a+\frac{nb}{2}).\sin \frac{(n+1)b}{2} }{\sin \frac{b}{2} }$, nếu $B \neq k2\pi$
|