Bài 113027

Question

Chứng minh công thức góc nhân ba
$1. \cos 3a=4\cos^3 a-3\cos a=4\cos a.\cos(60^0-a)\cos(60^0+a)$
$2.\sin 3a=3\sin a-4\sin^3 a=4\sin a.\sin (60^0-a).\sin (60^0+a)$
$3.\tan 3a=\frac{3\tan a-\tan^3 a}{1-3\tan^2 a}=\tan a.\tan (60^0-a).\tan(60^0+a)$

score 0 · Answer 1

Ta có:
1. Áp dụng công thức $\cos(a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b$ với $b=2a$ ta có
$\cos(a+2a)=\cos a.\cos 2a-\sin a.\sin 2a=\cos a.(2\cos^2 a-1)-\sin a.2\sin a.\cos a$
          $=\cos a(2\cos^2 a-1-2\sin^2 a)=\cos a[2\cos^2 a-1-2(1-\cos^2 a)]$
          $=\cos a(4\cos^2 a-3)          (1)$
$\Leftrightarrow \cos 3a=4\cos^3 a-3\cos a$ (đpcm)
Từ $(1)$ suy ra $\cos 3a=4\cos a(\cos^2 a-\frac{3}{4})=4\cos a(\cos^2 a-\cos^2 30^0)$
Sử dụng kết quả thí dụ $1$ ta có:
$\cos 3a=4\cos a[-\sin(a-30^0).\sin(a+30^0)]=4\cos a.\sin (30^0-a).\sin (a+30^0)$
       $=4\cos x.\cos(60^0+x).\cos(60^0-x)$ (đpcm)
2. Áp dụng công thức $\sin(a+b)=\sin a.\cos b+\cos a.\sin b$ với $b=2a$ ta có
$\sin(a+2a)=\sin a.\cos 2a+\cos a.\sin 2a=\sin a(1-2\sin^2 a)+2\sin a.\cos^2 a$
          $=\sin a(1-2\sin^2 a+2\cos^2 a)=\sin a[1-2\sin^2 a+2(1-\sin^2 a)]$
          $=\sin a(3-4\sin^2 a)                     (2)$
$\Leftrightarrow \sin 3a=3\sin a-4\sin^3 a$ (đpcm)
TỪ $(2)$ suy ra $\sin 3a=4\sin a(\frac{3}{4}-\sin ^2 a)=4\sin a(\sin^2 60^0-\sin^2 a)$
Sử dụng kết quả thí dụ $1$ ta có $\sin 3a=4\sin a.\sin(60^0-a).\sin(60^0+a)$ (đpcm)
3. Ta có:
$\tan 3a=\frac{\sin 3a}{\cos 3a}=\frac{\sin a(3-4\sin^2 a)}{\cos a(4\cos^2 a-3)}=\tan a \frac{4\cos^2 a-1}{4\cos^2a -3}$
       $=\tan a\frac{4-\frac{1}{\cos^2 a} }{4-\frac{3}{\cos^2 a} }=\tan a \frac{4-(1+\tan^2 a)}{4-3(1+\tan^2 a)}=\tan a \frac{3-\tan^2 a}{1-3\tan^2 a}$ (đpcm)
Theo các kết quả hai câu trên suy ra
$\tan 3a=\frac{\sin3a}{\cos 3a}=\frac{\sin a.\sin (60^0-a).\sin(60^0+a)}{\cos a.\cos(60^0-a).\cos (60^0+a)} $
       $=\tan a.\tan (60^0-a).\tan (60^0+a)$ (đpcm)

Bài 113027

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 113027

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan