Bài 112835

Question

Tính tích phân: $I = \int\limits_{0}^{2}(1-x)^ndx$
Từ đó chứng minh rằng: $2C^0_n-2^2 \frac{1}{2} C^1_n+2^3 \frac{1}{3}C^2_n-...+\frac{(-1)^n}{n+1}2^{n+1}C^n_n=\frac{1}{n+1}[1+(-1)^n]$

score 0 · Answer 1

Ta có :
$I = \int\limits_{0}^{2}(1-x)^ndx = -\int\limits_{0}^{2}(1-x)^nd(1-x) = - \frac{(1-x)^{n+1}}{n+1}\left| \begin{array}{l}
2\\
0
\end{array} \right. = \frac{1}{n+1}[(-1)^n+1]$ (1)
Với mọi $x$ và với $n$ là số nguyên dương, ta có :
      $(1-x)^n = \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^kC^k_nx^k.$                (2)
Lấy tích phân theo $x$ hai vế của (2) ta được :
      $ \int\limits_{0}^{2}(1-x)^ndx = \int\limits_{0}^{2}\sum\limits_{k = 0}^n (-1)^kC^k_nx^k = \sum\limits_{k = 0}^n(-1)^kC^k_n\frac{x^{k+1}}{k+1} \left| \begin{array}{l}
2\\
0
\end{array} \right.$
                       $ = 2C^0_n-2^2\frac{1}{2}C^1_n+2^3 \frac{1}{3}C^2_n-...+\frac{(-1)^n}{n+1}2^{n+1}C^n_n$       (3)
Từ (1) và (3) suy ra điều cần chứng minh.

Bài 112835

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112835

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan