Bài 112806

Question

Cho các số thực dương $a_i(I=1,2,..,k)$ thỏa mãn $a_1a_2...a_k=1 (1)$
Chứng minh rằng $\forall m,n \in N^*: m>n$ ta có
$ a_1^m+a_2^m+...+a_k^m \geq a_1^n+a_2^n+...+a_k^n$

score 0 · Answer 1

* Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho $m$ số trong đó có $n$ số $a_i^m,(m-n)$ số $1$ ta có
    $\underbrace {a_i^m+a_i^m+...+a_i^m}_{n số}+\underbrace {1+1+..+1}_{(m-n) số } \geq m\sqrt[m]{(a_i^m)^n.1^{(m-n)}}=m.a_i^E$
$\Leftrightarrow na_i^m+(m-n) \geq ma_i^n         (2)$
* Áp dụng $(2)$ cho $k $ số thực $a^m_i(i=1,2...,k)$ rồi cộng tất cả các bất đẳng thức thu được ta có $n(a_1^m+a_2^m+...+a_k^m)+k(m-n) \geq m(a_1^n+a_2^n+...+a_k^n)$
$\Leftrightarrow n(a_1^m+a_2^m+...+a_k^m)+k(m-n) \geq n(a_1^n+a_2^n+...+a_k^n)\\+(m-n)(a_1^n+a_2^n+...+a_k^n)$
Dấu bắt đẳng thức có khi và chỉ khi $a_i=1 \forall a_1                (3)$
* Áp dụng BĐT Cô-si cho $k$ số $a_i^n$:
    $(m-n)(a_1^n+a_2^n+...+a_k^n) \geq (m-n) k \sqrt[k]{a_1^na_2^n...a_k^n}$
                                 $=(m-n)k \sqrt[k]{(a_1a_2....a_k)^n}=(m-n)k$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $a_i=a_j, \forall i, \forall j        (4)$
* Thay $(4)$ vào $(3)$ có:
    $n(a_1^m+a_2^m+...+a_k^m)+k(m-n) \geq n(a_1^n+a_2^n+...+a_k^n)+(m-n)k$
$\Leftrightarrow a_1^m+a_2^m+...+a_k^m \geq a_1^n+a_2^n+...+a_k^n$. Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $a_i=1, \forall a_i$ (đpcm)

Bài 112806

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112806

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan