Bài 112804

Question

Cho $a,b,c$ dương thay đổi. Chứng minh:
$\left ( \frac{a}{b} \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c} \right )^ \frac{3}{2} +\left ( \frac{c}{a} \right )^ \frac{3}{2} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} $

score 0 · Answer 1

* Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\left ( \frac{a}{b} \right )^ \frac{3}{2} +\left ( \frac{a}{b} \right )^ \frac{3}{2} +1\geq 3 \frac{a}{b}\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{b} \right )^ \frac{3}{2} \geq \frac{3}{2}.\frac{a}{b}-\frac{1}{2} $
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\left ( \frac{a}{b} \right )^ \frac{3}{2}=1 \Leftrightarrow a=b$
Tương tự với các số còn lại suy ra:
   $\left ( \frac{a}{b} \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c} \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{c}{a} \right )^ \frac{3}{2} \geq \frac{3}{2}(\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-\frac{3}{2}\\=(\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+ \frac{1}{2}(\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-\frac{3}{2}$
Theo Cô-si $\frac{1}{2}(\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geq \frac{3}{2} \sqrt{\frac{a}{b} .\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-\frac{3}{2} \geq 0$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\frac{a}{b} =\frac{b}{c}=\frac{c}{a} \Leftrightarrow a=b=c$
Do vậy $\left ( \frac{a}{b} \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{b}{c} \right )^ \frac{3}{2}+\left ( \frac{c}{a} \right )^ \frac{3}{2} \geq \frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ (đpcm)

Bài 112804

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112804

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan