|
|
Với $a,b>0$ ta có: $4ab \leq (a+b)^2$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow
\frac{1}{a+b} \leq \frac{a+b}{4ab} \Leftrightarrow \frac{1}{a+b} \leq
\frac{1}{4} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b} ) $
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.
Áp dụng kết quả trên ta có:
$\frac{1}{2x+y+z} \leq \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right )$
$
\leq \frac{1}{4} \left[ {\frac{1}{2x}+\frac{1}{4} \left (
\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right ) } \right]=\frac{1}{8} \left (
\frac{1}{x} +\frac{1}{2y} + \frac{1}{2z} \right ) (1) $
$\frac{1}{x+2y+z} \leq \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{2y}+\frac{1}{x+z}\right )$
$
\leq \frac{1}{4} \left[ {\frac{1}{2y}+\frac{1}{4} \left (
\frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right ) } \right]=\frac{1}{8} \left (
\frac{1}{y} +\frac{1}{2x} + \frac{1}{2z} \right ) (2) $
$\frac{1}{x+y+2z} \leq \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{2z}+\frac{1}{y+x}\right )$
$
\leq \frac{1}{4} \left[ {\frac{1}{2z}+\frac{1}{4} \left (
\frac{1}{y}+\frac{1}{x} \right ) } \right]=\frac{1}{8} \left (
\frac{1}{z} +\frac{1}{2y} + \frac{1}{2x} \right ) (3) $
Vậy từ $(1), (2)$ và $(3)$ ta được:
$\frac{1}{2x+y+z}+
\frac{1}{x+2y+z}+ \frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{4} \left (
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \right )=1 $
Ta thấy trong các bất đẳng thức $(1),(2),(3)$ thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
$x=y=z$.
Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{3}{4} $
|