Bài 112670

Question

Cho hình chóp lục giác đều

$S.ABCDEF$ cạnh đáy bằng

$a$ , góc của mặt bên và đáy là

$\alpha$ . Tìm bán kính hình cầu ngoại tiếp, hình cầu nội tiếp hình chóp.

score 0 · Answer 1

Gọi

$H$ là tâm của đáy. Do

$S.ABCDEF$ là chóp đều nên mọi điểm trên đường cao

$SH$ đều cách đều các đỉnh của đáy, cũng như cách đều

$6$ mặt bên. Do đó tâm

$O$ của hình cầu ngoại tiếp và tâm

$I$ hình cầu nội tiếp của hình chóp đều nằm trên

$SH$ .

Tâm

$O$ sẽ là giao điểm của đường trung trực của canh

$SB$ với

$SH$ .
Bán kính

$R$ của hình cầu ngoại tiếp xác định như sau:

$R=SO=\frac{SK}{\cos \widehat{KSO}}$ ,
Ở đây

$K$ là trung điểm của

$SB$ .
Ta có:

$R=\frac{SB}{2\cos \widehat{BSH}}=\frac{SB}{2\frac{SH}{SB}}=\frac{SB^2}{2SH}$ .
Gọi

$M$ là trung điểm của

$AB$ thì

$\widehat{SMH}=\alpha$ .
Ta có:

$HM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan \alpha$

$\Rightarrow SB=\sqrt{SH^2+HB^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}\tan^2\alpha+a^2}=\frac{a}{2}\sqrt{4+3\tan^2\alpha}$ .
Vậy

$R=\frac{a^2(4+3\tan^2\alpha)}{4\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cot \alpha(4+3\tan^2\alpha)$ .
Tâm

$I$ của hình cầu nội tiếp là giao điểm của đường phân giác trong của

$\widehat{SMH}$ với

$SH$ .
Ta có:

$IH=MH\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan \frac{\alpha}{2}$ .
Vậy bán kính

$r$ của hình cầu nội tiếp xác định như sau:

$r=IH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan \frac{\alpha}{2}$ .

1 Đáp án