Bài 112663

Question

Với $n$ là số nguyên dương, chứng minh rằng :
a) $C^0_n + \frac{C^1_n}{1+1}+\frac{C^2_n}{1+2}+...+\frac{C^k_n}{1+k}+...+\frac{C^n_n}{1+n}=\frac{2^{n+1}-1}{1+n}$
b) $C^0_n - \frac{C^1_n}{1+1}+ \frac{C^2_n}{1+2}-...+(-1)^n.\frac{C^n_n}{1+n}=\frac{1}{1+n}$

score 0 · Answer 1

Với mọi $x$ và với $n$ là số nguyên dương ta có :
      $(1+x)^n = \sum\limits_{k = 0}^nC^k_nx^k$                                                            (1)
Lấy tích phân theo biến $x$ hai vế của (1) từ $0$ đến $t$ ta được :
      $\int\limits_{0}^{t}(1+x)^ndx = \int\limits_{0}^{t} \sum\limits_{k = 0}^nC^k_nx^k \Leftrightarrow \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}\left| \begin{array}{l}
t\\
0
\end{array} \right. = \sum\limits_{k = 0}^nC^k_n\frac{x^{k+1}}{k+1} \left| \begin{array}{l}
t\\
0
\end{array} \right.$
      $\Leftrightarrow \frac{(1+t)^{n+1}-1}{n+1} =\sum\limits_{k = 0}^n \frac{t^{k+1}C^k_n}{k+1}$                (2)
a) Thay $t=1$ vào (2) ta được :
      $\frac{2^{n+1}-1}{1+n} = \sum\limits_{k = 0}^n\frac{C^k_n}{k+1}$
b) Thay $t = -1$ vào (2) ta được :
      $-\frac{1}{n+1} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{(-1)^{k+1}C^k_n}{k+1} \Leftrightarrow \frac{1}{n+1}= \sum\limits_{k = 0}^n\frac{(-1)^kC^k_n}{k+1}$ (đpcm)

Bài 112663

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112663

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan