Bài 112661

Question

Với

$n$ là số nguyên dương, chứng minh rằng :
a)

$C^1_n +2C^2_n+...+(n-1)C^{n-1}_n+nC^n_n = n.2^{n-1}$
b)

$2.1C^2_n+3.2C^3_n+...+n(n-1)C^n_n=n(n-1).2^{n-2}$
c)

$(-1)^rC^r_rC^r_r+(-1)^{r+1}C^r_{r+1}C^{r+1}_n+...+(-1)^nC^r_nC^n_n = 0$
với

$r$ nguyên dương và

$r \leq n$ .

score 0 · Answer 1

Với mọi

$x$ và với

$n$ là số nguyên dương ta có :

$(1+x)^n =C^0_n+C^1_nx+C^2_nx^2+...+C^{n-1}_nx^{n-1}+C^n_nx^n$ (1)
Lấy đạo hàm theo

$x$ hai vế của (1) ta được :

$n(1+x)^{n-1}=C^1_n+2C^2_nx+...+(n-1)C^{n-1}_nx^{n-2}+nC^n_nx^{n-1}$ (2)
a) Thay

$x=1$ vào (2) ta được :

$n.2^{n-1}= C^1_n+2C^2_n+...+(n-1)C^{n-1}_n+nC^n_n$ , đpcm.
b) Lấy đạo hàm theo

$x$ hai vế của (2) ta được :

$n(n-1)(1+x)^{n-2}= 2.1C^2_n+3.2C^3_nx+...+n(n-1)C^n_nx^{n-2}$ (3)
Thay

$x=1$ vào (3) ta được :

$n(n-1).2^{n-2}=2.1C^2_n+3.2C^3_n+...+n(n-1)C^n_n$
c) Lấy đạo hàm cấp

$r$ theo

$x$ hai vế của (1) ta được :

$n(n-1)...(n-r+1)(1+x)^{n-r} = \sum\limits_{k = r}^nk(k-1)...(k-r+1)C^k_nx^{k-r}$ (4)
Chia hai vế của (4) cho

$r!$ ta được:

$\frac{1}{r!}n(n-1)...(n-1+1)(1+x)^{n-r} = \sum\limits_{k = r}^n\frac{k(k-1)...(k-r+1)}{r!}C^k_nx^{k-r}$

$= \sum\limits_{k = r}^n\frac{k!}{r!(k-r)!}C^k_nx^{k-r} = \sum\limits_{k = r}^nC^r_kC^k_nx^{k-r}$ (5)
Thay

$x = -1$ vào (5) ta được :

$0 = \sum\limits_{k = r}^nC^r_kC^k_n(-1)^{k-r} \Leftrightarrow \sum\limits_{k = r}^nC^r_kC^k_n(-1)^k = 0$ (đpcm)

1 Đáp án