1. Ví dụ mở đầu
Nhiều vấn đề của toán học, vật lý, hóa sinh… dẫn đến bài toán tìm giới hạn
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ trong đó $y = f\left( x \right)$ là hàm số nào đó. Trong toán học gọi giới hạn đó, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$.
2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và điểm ${x_0}$ thuộc khoảng đó.
ĐN: Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ khi x dần đến ${x_0}$ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm ${x_0}$, kí hiệu $f'\left( {{x_0}} \right)$ hoặc $y'\left( {{x_0}} \right)$, nghĩa là
$f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$
Trong định nghĩa trên, nếu đặt $\Delta x = x - {x_0},\,\,\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$ thì ta có
$f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$
Chú ý: 1) Số $\Delta x = x - {x_0}$ được gọi là số gia của biến số tại điểm ${x_0}$; số $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$ được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia $\Delta x$ tại điểm ${x_0}$.
2) Số $\Delta x$ không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
3) $\Delta x$và $\Delta y$ là những kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: $\Delta x$là tích của $\Delta $với $x$, $\Delta y$ là tích của $\Delta $ với y.
b) Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa
Muốn tính đạo hàm của hàm số $f$tại điểm ${x_0}$ theo định nghĩa, ta thực hiện hai bước sau:
Bước 1: Tính $\Delta y$ theo công thức $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$, trong đó $\Delta x$ là số gia đối số của biến số tại ${x_0}$.
Bước 2: Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = {x^2}$ tại điểm ${x_0} = 2$.
Giải: Đặt $f\left( x \right) = {x^2}$, ta thực hiện quy tắc trên như sau:
Tính $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {2 + \Delta x} \right)^2} - {2^2} = \Delta x\left( {4 + \Delta x} \right)$=
Tìm giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {4 + \Delta x} \right) = 4\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,f'\left( 2 \right) = 4$
Nhận xét:
Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$có đạo hàm tại điểm ${x_0}$ thì nó liên tục tại điểm ${x_0}$.
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$.
Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${x_0}$ thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ có phương trình là : $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^3}$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = - 1$.
Giải: Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$ tại ${x_0} = - 1$
Tính $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( { - 1 + \Delta x} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^3} = \Delta x\left( {3 - 3\Delta x + \Delta {x^2}} \right)$
Tính giới hạn:
$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3 - 3\Delta x + \Delta {x^2}} \right) = 3$
Vậy $f'\left( { - 1} \right) = 3$. Ngoài ra ta có $f\left( {{x_0}} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} = - 1$ nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
$y = 3\left( {x + 1} \right) - 1\,\, \Rightarrow \,\,\,y = 3x + 2$
4. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm
Vận tốc tức thời $v\left( {{t_0}} \right)$ tại thời điểm ${t_0}$( hay vận tốc tại ${t_0}$) của một chuyển động có phương trình $s = s\left( t \right)$ bằng đạo hàm của hàm số $s = s\left( t \right)$ tại điểm ${t_0}$, tức là
$v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right)$
5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
a) Khái niệm
Cho hàm số $f$ xác định trên tập J, trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của những khoảng nào đó. Ta có định nghĩa sau đây:
Định nghĩa:
1) Hàm số $f$gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm $f'\left( x \right)$ tại mọi điểm $x$ thuộc J.
2) Nếu hàm số $f$ có đạo hàm trên J thì hàm số $f'$ xác định trên bởi $f':\mathop {J \to \mathbb{R}}\limits_{x \to f'\left( x \right)} $ gọi là đạo hàm của hàm số f. Đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ cũng được kí hiệu bởi y’.
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số $y = {x^3}$ trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$
Giải: Với mọi $x$ thuộc khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ ta có;
$\begin{gathered}
\Delta y = {\left( {x + \Delta x} \right)^3} - {x^3} = \Delta x\left( {3{x^2} + 3x.\Delta x + \Delta {x^2}} \right); \\
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3{x^2} + 3x.\Delta x + \Delta {x^2}} \right) = 3{x^2} \\
\end{gathered} $
Vậy hàm số $y = {x^3}$ có đạo hàm trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ và $y' = 3{x^2}$
b) Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Định lí:
a) Hàm số hằng $y = c$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $y' = 0$;
b) Hàm số $y = x$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $y' = 1$;
c) Hàm số $y = {x^{n\,}}\left( {n \in \mathbb{N},n \geqslant 2} \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$và $y' = n{x^{n - 1}}$ ;
d) Hàm số $y = \sqrt x $ có đạo hàm trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ và $y' = \frac{1}{{2\sqrt x }}$ .
Chú ý: Hàm số $y = \left| x \right|$ xác định tại $x = 0$, tuy nhiên người ta chứng minh được rằng nó không có đạo hàm tại điểm $x = 0$.
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt x $ tại điểm $x = 9$
Giải: với $y = \sqrt x $, ta có $y' = \frac{1}{{2\sqrt x }}$ (Với mọi $x \in \left( {0; + \infty } \right)$). Do đó $y'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}$
|