Bài 112555

Question

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\begin{cases}2x-2y-z+1=0 \\ x+2y-2z-4=0 \end{cases}$
và mặt cầu $(S): x^2+t^2+z^2+4x-6y+m=0$. Tìm $m$ để $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm $M,N$ sao cho $MN=8$

score 0 · Answer 1

Ta có $(S): (x+2)^2+(y-3)^2+z^2=13-m   (1)$
Từ $(1)$ suy ra $(S)$ là mặt cầu $\Leftrightarrow 13-m>0\Leftrightarrow m<13   (2)$
Ta có: $IH=\sqrt{(13-m)-16}=\sqrt{-m-3} (3)$
Lại có: $IH=d(I,(d))   (4)$

Đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương :
$\overrightarrow{u}=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-2}}&{{-1}}\\
{{2}}&{{1}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2}}&{{2}}\\
{{1}}&{{-2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2}}&{{1}}\\
{{-2}}&{{2}}
\end{array}} \right|)=(6;3;6) // (2;1;2)$.
Mặt khác dễ thấy $M(0;1;-1)\in d$,
nên $d(I,(d))=\frac{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{MI}]|}{|\overrightarrow{u}|}$ với $\overrightarrow{MI}=(-2;2;1)$.
Ta có: $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{MI}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{1}}&{{2}}\\
{{2}}&{{1}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2}}&{{2}}\\
{{1}}&{{-2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2}}&{{1}}\\
{{-2}}&{{2}}
\end{array}} \right|)=(-3;-6;6)$.
Do vậy: $d(I,(d))=\frac{\sqrt{9+36+36}}{\sqrt{4+1+4}}=3 (5)$
Từ $(3),(4),(5)$ suy ra: $\sqrt{-m-3}=3\Leftrightarrow m=-12 (6)$
Rõ ràng $(6)$ thỏa mãn $(2)$ nên $m=-12$ là giá trị duy nhất cần tìm của tham số $m$.

Bài 112555

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112555

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan