Bài 112496

Question

Cho phương trình:

$\sin^23x+ (m^2-3)\sin3x+m^2-4=0$

$(1)$
a) Giải phương trình với

$m=1$
b) Tìm

$m$ để phương trình có đúng

$4$ nghiệm thuộc

$[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$

Thu Hằng · Answer 1 · 7/19/2012 11:40:22 AM

Đặt

$t=\sin3x$ , điều kiện

$|t| \leq 1$
Khi đó phương trình có dạng:

$t^2+(m^2-3)t+m^2-4=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-1 \\t=4-m^2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin3x=-1 \\\sin3x=4-m^2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \\ \sin3x=4-m^2 (2)\end{array} \right. ,k \in \mathbb{Z}$ .

a) Với

$m=1$ , phương trình

$(2)$ có dạng:

$\sin3x=3$ vô nghiệm
Vậy với

$m=1$ phương trình có nghiệm

$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$ .

b) Trước hết nghiệm

$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \in [\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$ là

$x_1=\frac{7\pi}{6}$
Vậy để phương trình

$(1)$ có đúng

$4$ nghiệm thuộc

$[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$ điều kiện là phương trình

$(2)$ có đúng

$3$ nghiệm khác

$\frac{7\pi}{6}$ thuộc

$[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$ .
Vì

$x \in [\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}] \Leftrightarrow 3x \in [2\pi, 4\pi]$ ,
do đó điều kiện là:

$\sin3x=0 \Leftrightarrow 4-m^2=0 \Leftrightarrow m= \pm 2$
Chú ý rằng các phương trình có dạng

$\sin 3x = t$ với

$t\ne 0$ chỉ cho ta tối đa

$2$ nghiệm trong

$[2\pi, 4\pi]$ .
Khi đó ta được các nghiệm

$3x \in\left\{ {2\pi,3\pi,4\pi} \right\} \Leftrightarrow x\in\left\{ {\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3}} \right\}$
Vậy với

$m=\pm 2$ phương trình

$(1)$ có

$4$ nghiệm thuộc

$[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$

Bài 112496

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112496

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan