1. Phương trình dạng $|{\text{ax}} + b| = |cx + d|$
a, Cách giải 1
Chúng ta đã biết $\left| X \right|{\text{ = }}\left| Y \right| \Leftrightarrow X = \pm Y$ (với X và Y là hai số tùy ý). Tương tự, ta có
$|{\text{ax}} + b| = |cx + d| \Leftrightarrow {\text{ax}} + b = \pm (cx + d)$
Như vậy, muốn giải phương trình $|{\text{ax}} + b| = |cx + d|$, ta chỉ việc giải hai phương trình $ax + b = cx + d\,\,\,\& \,\,\,ax + b = - (cx + d)$ rồi lấy tất cả các nghiệm thu được.
b, Cách giải 2
Do hai vế của phương trình $|{\text{ax}} + b| = |cx + d|$ luôn không âm nên khi bình phương hai vế của nó, ta được phương trình tương đương.
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của phương trình.
Ví dụ 3
Giải và biện luận phương trình
$\frac{{{x^2} - 2(m + 1)x + 6m - 2}}{{\sqrt {x - 2} }} = \sqrt {x - 2} $ (3)
Giải
Điều kiện của phương trình là x – 2 > 0, hay x > 2. Với điều kiện đó ta có:
$(3) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2(m + 1)x + 6m - 2}}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 2} }}$
$ \Leftrightarrow {x^2} - (2m + 3)x + 6m = 0$ (3a)
Phương trình (3a) luôn có hai nghiệm là x = 3 và x = 2m
- Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện x > 2 nên nó là nghiệm của phương trình (3) với mọi m.
- Để giá trị x = 2m là nghiệm của (3), nó phải thỏa mãn điều kiện x > 2. Ta có $2m > 2 \Leftrightarrow m > 1$. Điều đó có nghĩa là:
- Nếu m > 1 thì x = 2m là nghiệm của (3);
- Nếu $m \leqslant 1$ thì x = 2m không thỏa mãn của ẩn và bị loại
Tổng hợp các kết quả trên, ta đi đến kết luận:
Khi m > 1, phương trình (3) có hai nghiệm x = 3 và x = 2m
(hai nghiệm này trùng nhau khi $m = \frac{3}{2}$)
Khi $m \leqslant 1$, phương trình (3) có một nghiệm duy nhất x = 3.
|