Bài 112504

Question

Cho $\Delta ABC$ thỏa mãn: $\frac{1 }{ \sin ^2 A} +\frac{1 }{ \sin ^2 B} +\frac{ 1}{ \sin^2 C} = \frac{1 }{2 \sin \frac{ A}{2 } \sin \frac{B }{2 } \sin \frac{ C}{ 2} } (1)$
Chứng minh $\Delta ABC$ đều.

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/19/2012 10:32:02 AM

Nhân $2$ vế $(1)$ với :
               $\sin A \sin B \sin C = 8 \sin \frac{ A}{ 2} \sin \frac{ B}{2 } \sin \frac{ C}{ 2} \cos \frac{ A}{2 } \cos \frac{ B}{2 } \cos \frac{ C}{ 2} $
ta được: $(1) \Leftrightarrow \frac{\sin B \sin C }{ \sin A } +\frac{\sin A \sin C }{\sin B } +\frac{ \sin B \sin A}{\sin C } =4 \cos \frac{ A}{2 } \cos \frac{ B}{ 2} \cos \frac{ C}{2 }$
Lại có: $ \sin A +\sin B +\sin C=2\sin\frac A2\cos\frac A2+2\sin \frac{B+C}2\cos\frac{B-C}2
\\=2\cos\frac A2(\cos\frac{B-C}2+\cos\frac{B+C}2)=4\cos \frac{ A}{2 } \cos \frac{ B}{ 2} \cos \frac{ C}{2 }$
Suy ra: $(1)\Leftrightarrow \frac{\sin B \sin C }{ \sin A } +\frac{\sin A \sin C }{\sin B } +\frac{ \sin B \sin A}{\sin C }=\sin A +\sin B +\sin C     (2)$
Áp dụng định lý $\sin $ ta được:
       $(2)\Leftrightarrow \frac{ bc}{ a} +\frac{ ac}{ b} +\frac{ba }{c }= a+b+c $
       $\Leftrightarrow (ab-bc)^2 + (bc-ca)^2+(ca-ab)^2=0$
       $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
ab = bc\\
bc = ac\\
ca = ab
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c$
Vậy tam giác $ABC$ đều.

Bài 112504

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112504

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan