Bài 112497

Question

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho bốn điểm $A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)$.
a) Viết phương tình mặt cầu đi qua bốn điểm $A,B,C,D$.
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

score 0 · Answer 1

a) Phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm có dạng:
$x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$
Thay tọa độ của $A,B,C,D$ vào phương trình mặt cầu ta được:
$\begin{cases}6a+6b+d=-18 \\ 6a+6c+d=-18\\ 6b+6c+d=-18\\6a+6b+6c+d=-27 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}a=b=c \\ 6a=-9\\d=-18-6(a+b) \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}a=b=c=-\frac{3}{2} \\ d=0 \end{cases} $
Vậy $(S):$ $x^2+y^2+z^2-3x-3y-3z=0 $
$(S): (x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2+(z-\frac{3}{2})^2=\frac{27}{4}$
Đây là hình cầu có tâm tại điểm $I(\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2})$ và bán kính $R=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
b) Mặt cầu $(S)$ cắt mặt phẳng $ABC$ theo giao tuyến là đường tròn. Đường tròn này chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tâm $H$ của nó chính là hình chiếu của $I$ lên $(ABC)$. $(ABC)$ qua $A,B,C$ nhận $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} ] $ làm véc-tơ pháp tuyến
Có $\overrightarrow{AB}=(0;-3;3); \overrightarrow{AC}=(-3;0;3) $
$\Rightarrow \overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} ] = (-9;-9;-9)=-9(-1;-1;-1)$. Vậy phương trình $(ABC)$ là:
$x+y+z-6=0$.
Đường thẳng $IH$ nhận vectơ pháp $\overrightarrow{n}=(1;1;1)$ của $(ABC)$ là vectơ chỉ phương nên ta có phương trình:
$\begin{cases}x=\frac{3}{2}+t \\ y=\frac{3}{2}+t \\z=\frac{3}{2}+t \end{cases}$
Từ đó suy ra $H= IH\cap(ABC) $. Ta có:
$\left ( \frac{3}{2} +t \right )+\left ( \frac{3}{2} +t \right )+\left ( \frac{3}{2} +t \right )-6 =0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{2} $
Vậy $H(2;2;2)$.

Bài 112497

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112497

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan