Bài 112466

Question

Cho $\Delta ABC$ thỏa mãn điều kiện:
$\frac{ a \cos A+b \cos B+c \cos C}{ a \sin B+b \sin B+c \sin A} =\frac{ 2p}{ 9R} (1)$

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/18/2012 5:18:30 PM

Ta có :       $a \cos A + b \cos B+ c \cos C$
              $= R(2 \sin A \cos A+ 2 \sin B \cos B+2s C \cos C)$
              $=R(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$
              $=4R \sin A \sin B \sin C$
              $= 4R \frac{abc }{ 8R^3} = \frac{ abc}{ 2R^2} $
$*                a \sin B + b \sin C + c \sin A = \frac{ ab+bc+ac}{ 2R} $
Vậy              $(1) \Leftrightarrow \frac{abc }{ 2R^2 \frac{ ab+bc+ac}{ 2R} } = \frac{a+b+c }{ 9R} $
              $\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)=9abc   (2)$
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta được:
$a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{(abc)^2} .$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
$ab+bc+ac \geq 3 \sqrt[3]{(abc)^2}   (4). $ Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
Nhân vế với vế của $(3)$ và $(4)$ ( vì cả $2$ vế dương ) ta được:
$(a+b+c)(ab+bc+ac) \geq 9abc   (5).$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$
Từ $(1)$ và $(5)$ ta nhận thấy $(1)$ chỉ đúng khi ở $(5)$ có dấu đẳng thức tức là khi $a=b=c.$
Do đó $(1)$ đúng thì $\Delta ABC$ đều.

Bài 112466

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112466

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan