Bài 112454

Question

Cho $a,b$ là hai số thực $\neq 0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+4\geq 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$ (1)

score 0 · Answer 1

Ta có:
(1) $\Leftrightarrow \frac{a^{4}+b^{4}+4a^{2}b^{2}-3a^{3}b-3ab^{3}}{a^{2}b^{2}}\geq 0$
$\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}-2a^{2}b^{2}+6a^{2}b^{2}-3a^{3}b-3ab^{3}\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})^{2}-3ab(a^{2}-2ab+b^{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow [(a+b)(a-b)]^{2}-3ab(a-b)^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2}[(a+b)^{2}-3ab]\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2}\left[ { \left ( a-\frac{b}{2} \right )^{2}+\frac{3b^{2}}{4} } \right] \geq 0 $ đúng $\Rightarrow $đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $\left[ \begin{array}{l} a=b \\ \left( a-\frac{b}{2}\right)^{2}=\frac{3b^{2}}{4}=0 \end{array} \right.\Rightarrow a=b.$

Bài 112454

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112454

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan