Bài 112371

Question

Tính tích phân: $I=\int\limits_{0}^{\frac{{\pi} }{4} }\frac{4\sin^3 xdx}{1+\cos^4 x} $

score 0 · Answer 1

Phân tích :
$I=\int\limits_{0}^{\frac{{\pi} }{4} }\frac{4\sin^3 xdx}{1+\cos^4 x}=\int\limits_{0}^{\frac{{\pi} }{4} }\frac{4\sin^2 x\sin xdx}{1+\cos^4 x} $
Đặt :$t=\cos x \Rightarrow dt=-\sin xdx$
Đổi cận :
$x=\frac{\pi}{4} \Rightarrow t=\frac{{\sqrt{2}} }{2} $
$x=0 \Rightarrow t=1$
Lúc đó :
$I=-4 \int\limits_{1}^{\frac{{\sqrt{2}} }{2} } \frac{(1-t^2)dt}{(1+t^4)}=4\int\limits_{1}^{\frac{{\sqrt{2}} }{2} }\frac{(t^2-1)dt}{(1+t^4)}=4\int\limits_{1}^{\frac{{\sqrt{2}} }{2} }(\frac{1-\frac{1}{t^2} }{t^2+\frac{1}{t^2} } )dt $
$I=4\int\limits_{1}^{\frac{{\sqrt{2}} }{2} }\frac{d(1+\frac{1}{t} )}{(t+\frac{1}{t} )^2-({\sqrt{2}} )^2}=4\frac{1}{2 {\sqrt{2}} }\ln |\frac{1+\frac{1}{t}-{\sqrt{2}} }{1+\frac{1}{t} +{\sqrt{2}} } ||_{1}^{\frac{{\sqrt{2}} }{2} } ={\sqrt{2}}\ln \frac{5+4\sqrt{2}}{7}$ (ycbt)

Bài 112371

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112371

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan