1, Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây
$\int\limits_a^b {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx} = \int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)} {f\left( u \right)du} $ (1)
Trong đó hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y=f(u) có liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a và b là 2 số thuộc K
Công thức (1) được gọi là công thức đổi biến số
Phương pháp đổi biến thường được áp dụng theo 2 cách sau:
Cách 1: Giả sử ta cần tính $\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $. Nếu ta viết được g(x) dưới dạng $f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)$ thì theo công thức (1) ta có:
$\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} $
Vậy bài toán quy về tính $\int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} $
Ví dụ 1: Tính $\int\limits_1^2 {x{e^{{x^2}}}dx} $
Giải
Ta có $x{e^{{x^2}}}dx = \frac{1}{2}{e^{{x^2}}}d\left( {{x^2}} \right)$. Đặt $u = {x^2}$ta có $u\left( 1 \right) = 1,\,u\left( 2 \right) = 4$. Do đó
$\int\limits_1^2 {x{e^{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^4 {\frac{{{e^u}}}{2}du} = \frac{1}{2}\left( {{e^4} - e} \right)$
Cách 2: Giả sử ta cần tính $\int\limits_\alpha ^\beta {f(x)dx} $. Đặt $x = x(t)\,\,\,\,\,\,(t \in K)\& a,b \in K$ thỏa mãn $\alpha = x(a);\beta = x(b)$ thì công thức (1) cho ta:
$\int\limits_\alpha ^\beta {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f\left[ {x(t)} \right]} x'(t)dt$
Vậy bài toán quy về tính $\int\limits_a^b {g(t)dt} $ ( với $g(t) = f\left[ {x(t)} \right]x'(t)$)
Ví dụ: Tính $\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} $
Giải:
Đặt x=sint. Ta có:$dx = d(\sin t) = \cos tdt,0 = \sin 0,1 = \sin \frac{\pi }{2}$
Vậy $\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} \cos tdt} $
Vì $t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ nên $1 - {\sin ^2}t = \cos t$. Do đó:
$\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 + c{\text{os}}2t)dt = \frac{1}{2}\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)\mathop |\nolimits_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{4}} $
2. Phương pháp tích phân từng phần
Tương tự như phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, ta cũng có phương pháp tích phân từng phần. Cơ sở của phương pháp này là công thức sau:
$\int\limits_a^b {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx} = \left( {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right)|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)u'\left( x \right)dx} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
Trong đó các hàm số u,v có đạo hàm liên tục trên K và a, b là 2 số thuộc K
Ví dụ. Tính $\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} $
Giải. Chọn $u\left( x \right) = x,\,\,v\left( x \right) = {e^x}$. Khi đó $u'\left( x \right) = 1,\,\,v\left( x \right) = {e^x}$. Do đó
$\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} = \left( {x{e^x}} \right)|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e - (e - 1) = 1$
|