Bài 104362

Question

Tính tích phân $I=\int\limits_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\cot x}{\sin x.\sin (x+\frac{\pi}{4})}dx$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/16/2012 11:28:16 AM

$I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cot x}}{{\sin {\rm{x}}\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} dx = \sqrt 2 \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cot x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x} \right)}}dx} = \sqrt 2 \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cot x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x}}\left( {1 + \cot x} \right)}}dx}$
Đặt $1+\cot x=t\Rightarrow $$\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - dt$
Khi $x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = 1 + \sqrt 3 ; x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 }}$
Vậy $I = \sqrt 2 \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 3 + 1} {\frac{{t - 1}}{t}} dt = \left. {\sqrt 2 \left( {t - \ln |t|} \right)} \right|_{\frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 3 + 1} =\boxed{ \sqrt 2 \left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }} - \ln \sqrt 3 } \right)}$

Bài 104362

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104362

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan