Bài 112313

Question

Tính : $ \mathop {\lim }\limits \sqrt[n]{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )\left ( 1+\frac{2}{n} \right )...\left ( 1 + \frac{n}{n} \right ) }$

score 0 · Answer 1

Xét $ f(x) = \ln (1+x) , x > -1$
* Phân hoạch đoạn $[0;1]$ :
     $ 0 = x_0< x_1 =\frac{1}{n} < x_2 = \frac{2}{n}< ...< x_n = 1$
* Chọn $\xi _i = x_{i+1} = \frac{i+1}{n}, i = \overline{0;n-1}$
* Tổng Riemann của $f$ :
            $S_n = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)= \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n}\ln \left ( 1 + \frac{i}{n} \right )$
$ = \ln \sqrt[n]{\left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) \left ( 1+\frac{2}{n} \right )... \left ( 1+\frac{n}{n} \right ) }$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }\sqrt[n]{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )\left ( 1+\frac{2}{n} \right )...\left ( 1+\frac{n}{n} \right )   } = \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }e^{S_n} $
$= e^{\int\limits_{0}^{1}f(x)dx} = e^{\frac{2\ln 2-1}{2} } =\frac{2}{\sqrt{e} }.$

Bài 112313

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112313

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan