Bài 112308

Question

Đặt $S_n = \frac{1}{n}\left ( \frac{1}{1+\sin \frac{\pi}{2n} }+ \frac{1}{1 + \sin \frac{2\pi}{2n} } + ...+ \frac{1}{1+ \sin \frac{n\pi}{2n} } \right )$ Tìm $ \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty } S_n.$

score 0 · Answer 1

Xét hàm số : $ f(x) = \frac{2}{\pi } . \frac{1}{1 + \sin x}, x \in \left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]$
* Phân hoạch đoạn $\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ] $
$ 0 = x_0 < x_1 = \frac{\pi}{2n} < x_2 = \frac{2\pi}{2n} < ... < x_n = \frac{\pi}{2}$
* Chọn $ \xi _i = x _{i+1} = \frac{\pi(i+1)}{2n}, i = \overline{0;n-1}$
* Tổng Riemann của $f$:
$\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} f ( \xi _i) (x_{i+1} - x_i) = \frac{2}{\pi }\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} \frac{1}{1 + \sin \xi _i}. \frac{\pi}{2n} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + \sin \frac{i\pi}{2n} }= S_n$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }S_n = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f(x)dx = \frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{dx}{1+ \sin x} = \frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac{dx}{1 + \cos \left ( \frac{\pi}{2}-x \right ) }$
$ = \frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac{dx}{2 \cos ^2 \left ( \frac{x}{4} - \frac{\pi}{4} \right ) } = \frac{2}{\pi }\left ( \tan \left ( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right ) \right )\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. = \frac{2}{\pi }(0+1) = \frac{2}{\pi }.$

Bài 112308

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112308

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan