Bài 112256

Question

Cho $\Delta ABC $ thỏa mãn điều kiện $a^4=b^4+c^4 $
Chứng minh rằng $\Delta ABC $ nhọn và thỏa mãn hệ thức $2 \sin ^2 A=\tan B. \tan C (1)$

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/17/2012 10:42:22 AM

Do $a^4=b^4+c^4(*)$ nên $\begin{cases}a >b \\ a>c \end{cases}$ Vậy $\Delta ABC$ có cạnh $a$ là lớn nhất nên góc $A$ lớn nhất. Để chứng minh $\Delta ABC$ nhọn chỉ cần chứng minh cho góc $A$ nhọn là đủ.
Vì $0<b<a \Leftrightarrow 0< \frac{ b}{ a} < 1$ nên $\frac{ b^4}{ a^4} < \frac{ b^2}{ a^2}         (2)$
Và $0<c<a \Leftrightarrow 0 < \frac{ c}{ a} <1$ nên $\frac{c^4 }{a^4 } <\frac{ c^2}{ a^2}         (3)$
Cộng vế với vế của $(2)$ với $(3)$ ta được:
$\frac{ b^2}{ a^2} +\frac{ c^2}{a^2 } >\frac{ b^4+c^4}{ a^4} \Leftrightarrow \frac{ b^2+c^2}{ a^2} >1 \Leftrightarrow b^2+c^2>a^2$
Theo định lí cô sin: $\cos A= \frac{ b^2+c^2-a^2}{2bc } > 0$ nên góc $A$ nhọn và do đó $B,C $ nhọn.
$VP (1) = \tan B.\tan C = \frac{ \sin B}{ \cos B } .\frac{\sin C }{ \cos C} $   (áp dụng định lí cô sin và định lí $\sin $)
               $=\frac{bc }{ 4R^2 \left ( \frac{ a^2+c^2-b^2}{ 2ac} \right ). \left ( \frac{a^2+b^2-c^2 }{ 2ab} \right )} $
               $= \frac{ a^2b^2c^2}{ R^2[a^4-(b^4+c^4)+2b^2c^2]} $   Do $(* )$
               $= \frac{a^2 }{ 2R^2} = 2 (\frac{ a}{ 2R})^2 = 2 \sin ^2 A = VT (1)$

Bài 112256

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112256

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan