Bài 112247

Question

Chứng minh rằng :$ \sum\limits_{k = 1}^{n} {\frac{1}{k(k+1)2^k} } < 1 -\ln 2, \forall n \in N$

score 0 · Answer 1

Ta có : $ 1 + x + x^2 + ... + x^n = \frac{1-x^n}{1-x}< \frac{1}{1-x}, \forall x \in (0;1)$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{y}( 1 + x + x^2 + ... + x^n)dx < \int\limits_{0}^{y}\frac{dx}{1-x}, \forall y \in (0;1)$
$\Rightarrow y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} +...+ \frac{y^n}{n} < - \ln (1-y), \forall y \in (0;1)$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{z} \left ( y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} +...+\frac{y^n}{n} \right )dy < - \int\limits_{0}^{z}\ln (1-y)dy$
$\Rightarrow \frac{z^2}{1.2}+\frac{z^3}{2.3}+\frac{z^4}{3.4}+...+\frac{z^{n+1}}{n(n+1)} <(1-z).\ln (1-z)+z, \forall z \in (0;1).$
Chọn $ z = \frac{1}{2} ,$ ta có ngay :
$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k(k+1)}.\frac{1}{2^{k+1}} < \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k(k+1)}.\frac{1}{2k} < 1 - \ln 2 .$

Bài 112247

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112247

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan