Bài 112047

Question

Cho $a,b,c$ là ba số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh
$Q=(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1) \leq 1$

score 0 · Answer 1

Ta có:
Sử dụng bất đẳng thức $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)$ cho ba số thực dương $x=a, y=\frac{1}{b}, z=1$ ta có $\frac{a}{b} \geq (a+\frac{1}{b}-1)(a+1-\frac{1}{b})(\frac{1}{b}+1-a)    (1)$
Nhân theo từng vế của bất đẳng thức $(1)$ với $\frac{b}{a}>0$ ta có
$(1) \Leftrightarrow (a+\frac{1}{b}-1)b(a+1-\frac{1}{b})\frac{1}{a}(\frac{1}{b}+1-a)$
    $\Leftrightarrow 1 \geq (a+\frac{1}{b}-1)(ab+b-1)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a}-1)         (2)$
Theo giả thiết $abc=1 \Leftrightarrow ab=\frac{1}{c}$ thay vào $(2)$ có $1 \geq (a+\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}+b-1)(c+\frac{1}{a}-1)$
$\Rightarrow Q \leq 1$ Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\begin{cases}x=y=z \\ abc=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{1}{b}=1 \\ abc= 1\end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 112047

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112047

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan