Bài 112044

Question

Cho $a$ số cố định $x,y,z$ là các số thực không âm có $x+y+z=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+zx-ay$

score 0 · Answer 1

1) Giá trị lớn nhất của $Q$
Sử dụng $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)$ kết hợp với $x+y+z=1$ ta có
$(1) \Leftrightarrow xyz \geq (1-2x)(1-2y)(1-2z)=1-2(x+y+z)\\+4(xy+yz+zx)-8xyz$
$\Leftrightarrow xy+yz+zx \leq \frac{9xyz}{4}+\frac{1}{4}$. Suy ra $Q \leq \frac{1}{4}+(\frac{9}{4}-a)xyz    (1)$
$0 \leq xyz \leq (\frac{x+y+z}{3})^3=\frac{1}{27}$, dấu bất đẳng thức có khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}   (2)$
Do vậy, xét $a$:
* $a \leq \frac{9}{4}$ từ $(1),(2)$ suy ra $Q \leq \frac{1}{4}+(\frac{9}{4}-a)\frac{1}{27}=\frac{9-a}{27}$. Đạt được khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow \max Q=\frac{9-a}{27}           (3)$
* $a>\frac{9}{4}$, từ $(2)$ suy ra $Q \leq \frac{1}{4}$
Với $x=y=\frac{1}{2}, z=0$ thì $Q=\frac{1}{4}$, suy ra $\max Q=\frac{1}{4}            (4)$
2) Giá trị nhỏ nhất của $Q$
Với $xyz>0$ theo Cô-si ta có $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \geq 3\sqrt[3]{xyz}.\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=9$
Kết hợp với $x+y+z=1$ ta có:
   $xy+yz+zx=xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=xyz(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \geq 9xyz$
Hiển nhiên $xy+yz+zx \geq 9xyz$ đúng cả trong trường hợp $xyz=0$
Suy ra $Q \geq (9-a)xyz, ( \forall xyz: x+y+z=1)                   (5)$
Do vậy trị số của $\min Q$ còn tùy thuộc vào dấu của $(9-a)$
* $a>9$: Từ $(2),(5)$ ta có $Q \geq \frac{9-a}{27}$ Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow \min Q=\frac{9-a}{27}$
* $a \leq 9$: Từ $(5)$ suy ra $Q \geq 0$ Với $x=y=0, z=1$ có $Q=0 \Rightarrow \min Q=0$
Tóm lại $\max Q=\begin{cases}\frac{9-a}{27} nếu a<\frac{9}{27}   \\ \frac{1}{4} nếu a \geq \frac{9}{27}   \end{cases}$ và $\min Q= \begin{cases}0 nếu a \leq 9 \\ \frac{9-a}{27} nếu a>9 \end{cases} $

Bài 112044

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112044

1 Đáp án

Liên quan

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Lý thuyết liên quan