ĐỊNH NGHĨA
Giả sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp $D$ ($D \subset R$)
a) Nếu tồn tại một điểm ${x_0} \in D$ sao cho
$f(x) \leqslant f({x_0})$ với mọi ${x} \in D$
Thì số $M = f({x_0})$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $f$ trên $D$, kí hiệu là $M = \mathop {m{\text{ax}}}\limits_{x \in D} f(x)$
b) Nếu tồn tại một điểm ${x_0} \in D$ sao cho
$f(x) \geqslant f({x_0})$ với mọi ${x} \in D$
Thì số $m = f({x_0})$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f$ trên $D$, kí hiệu là $m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)$
Như vậy muốn chứng tỏ số $M$ (hoặc $m$) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số $f$ trên tập hợp $D$ cần chỉ rõ:
a) $f(x) \leqslant M$ (hoặc $f(x) \geqslant m$) với mọi $x$ thuộc $D$
b) Tồn tại ít nhất 1 điểm ${x_0} \in D$sao cho $f({x_0}) = M$ (hoặc $f({x_0}) = m$)
VÍ DỤ
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
$f(x) = \sqrt {4 - {x^2}} $
Giải :
Tập xác định của hàm số là $\left[ { - 2;2} \right]$. Hiển nhiên $0 \leqslant f(x) \leqslant 2$ với mọi $x \in \left[ { - 2;2} \right]$ :
$f(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\,\,$ và $\,f(x) = 2 \Leftrightarrow x = 0$
Do đó
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} \sqrt {4 - {x^2}} = 0;\,\,\,\,\mathop {\operatorname{m} {\text{ax}}}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} \sqrt {4 - {x^2}} = 2;\,$
Phương pháp thường được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó
NHẬN XÉT
Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó.
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$, có thể trừ 1 số hữu hạn điểm. Nếu $f'(x) = 0$ chỉ có 1 số hữu hạn điểm thuộc $\left( {a;b} \right)$ thì ta có quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm $f$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ như sau:
QUY TẮC
1.Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...{x_m}$ thuộc $\left( {a;b} \right)$ tại đó hàm số $f$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không có đạo hàm
2) Tính$f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...f\left( {{x_m}} \right),\,f\left( a \right)\,\,$ và $\,f\left( b \right)$
3) So sánh các giá trị tìm được
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của $f$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, số nhỏ nhất trong các giá trị đó nhỏ nhất của $f$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.
VÍ DỤ
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số$f(x) = {x^3} - 3x + 3$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$
Giải : Ta có$f'(x) = 3{x^2} + 3$
$\left\{ \begin{gathered}
f'(x) = 0 \\
0 < x < 2 \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
3{x^2} - 3 = 0 \\
0 < x < 2 \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = \pm 1 \\
0 < x < 2 \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 1$
$f(1) = 1;\,\,f(0) = 3;f(2) = 5;$
Do đó $\mathop {\operatorname{m} {\text{ax}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} f(x) = 5;\,\,\,\,\mathop {\operatorname{m} {\text{in}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} (x) = 1;\,$
|