Bài 112042

Question

Chứng minh với mọi

$x,y,z$ không âm ta luôn có:

$xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x) (1)$

score 0 · Answer 1

Giải
Để ý: Với

$x,y,z$ không âm thì trong ba số

$a=(y+z-x), b=(x+z-y), c=(x+y-z)$ không thể có quá một số âm
Giả sử có hai số âm, do tính bình đẳng của

$x,y,z$ giả sử

$\begin{cases}x+y-z<0 \\ x-y+z<0 \end{cases}$
Cộng vế theo vế ta có:

$2x<0$ , trái giả thiết

$x \geq 0$
+ Nếu trong ba số

$a,b,c$ có một số âm thì

$(1)$ đúng ( do

$xyz \geq 0\geq abc$ )

$(2)$
+ Nếu cả ba số đều dương thì ta có

$x^2 \geq x^2-(y-z)^2=(x+y-z)(x+z-y)>0$
Do vậy,nhân vế theo vế có

$\Leftrightarrow (xyz)^2 \geq (x+y+z)^2(x+z-y)^2(y+z-x)^2$
Từ

$(2),(3)$ suy ra

$(1)$ được chứng minh

score 0 · Answer 2