Bài 112038

Question

Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc $[0;1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$Q=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{y+x+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$

score 0 · Answer 1

Không mất tính tổng quát, giả sử $x=\max \left\{ {x;y;z} \right\}$ sẽ có
      $\frac{z}{y+x+1} \leq \frac{z}{y+z+1}$
      $\frac{y}{x+z+1} \leq \frac{y}{y+z+1}   (*)$
      $\frac{x}{y+z+1} = \frac{x}{y+z+1} $
Cộng từng vế có: $\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{y+x+1} \leq \frac{x+y+z}{y+z+1}=1+\frac{x-1}{y+z+1}$
Hay $Q \leq 1+\frac{x-1}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$
$\Leftrightarrow Q \leq 1+(1-x)\frac{(1-y)(1-z)(y+z+1)-1}{y+z+1}$
Theo Cô-si $(1-y)(1-z)(y+z+1) \leq (\frac{1-y+1-z+y+z+1}{3})^3=1$
$\Leftrightarrow (1-x)\frac{(1-y)(1-z)(y+z+1)-1}{y+z+1} \leq \frac{1-1}{y+z+1}=0 \Leftrightarrow \Rightarrow Q \leq 1$
Dáu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1-x=0}\\
{1-y=1-z=y+z+1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=1}\\
{y=z=0}
\end{array}} \right.$
Vậy $\max Q=1$ đạt được khi trong $3$ số $x;y;z$ có $1$ số bằng $1$ còn $2$ số còn lại bằng $0$

Bài 112038

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112038

1 Đáp án

Liên quan

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Lý thuyết liên quan