Bài 111994

Question

Chứng minh các công thức biến đổi tổng thành tích:
$\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}                              (1)$
$\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}                            (2)$
$\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}                                (3)$
$\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}                                (4)$
$\tan a+\tan b=\frac{\sin(a+b)}{\cos a\cos b}                                                (5)$
$\tan a-\tan b=\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}                                                 (6)$

score 0 · Answer 1

a) $\cos a=\cos\left (\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2} \right )=\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}-\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}      (7)$

    $\cos b=\cos\left (\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2} \right )=\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}+\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}       (8)$

Cộng vế với vế (7) và (8) ta được (1).

Trừ vế với vế (7) và (8) ta được (2).

Biến đổi: $a=\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2},   b=\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}$ ở vế trái (3) và (4)

$\sin a=\sin\left (\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2} \right )=\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}+\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}      (9)$

$\sin b=\sin\left (\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2} \right )=\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}-\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}      (10)$

Cộng vế với vế (9) và (10) ta được (3).

Trừ vế với vế (9) và (10) ta được (4).

b) Ta có:   $\tan a\pm\tan b=\frac{\sin a}{\cos a}\pm\frac{\sin b}{\cos b}=\frac{\sin a\cos b\pm\sin b\cos a}{\cos a\cos b}=\frac{\sin(a\pm b)}{\cos a\cos b}$

Đó là các đẳng thức (5) và (6).

Bài 111994

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111994

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan