Bài 111854

Question

$M$ là một điểm thuộc miền trong của $\Delta ABC$. Gọi $A_1,B_1,C_1$ theo thứ tự là chân các đường thẳng $AM,BM,CM$ trên cạnh $BC,CA,AB$
Chứng minh $Q=\frac{MA}{MA_1}+\frac{MB}{MB_1}+\frac{MC}{MC_1} \geq 6$

score 0 · Answer 1

Gọi $S,S_A,S_B,S_C$ theo thứ tự lần lượt là diện tích các tam giác $\Delta ABC, \Delta MBC$
$\Delta MCA, \Delta MAB \Rightarrow S=S_1+S_2+S_3$. Ta có:
$Q+3=(\frac{MA}{MA_1}+1)+(\frac{MB}{MB_1}+1)+(\frac{MC}{MC_1}+1)$
$=\frac{AA_1}{MA_1}+\frac{BB_1}{MB_1}+\frac{CC_1}{MC_1} (2)$
Từ $A,M$ kẻ các đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt $BC$ theo thứ tự tại $A_0,M_0$
Rõ rằng $\frac{AA_1}{MA_1}=\frac{AA_0}{MM_0}=\frac{S}{S_1}$. Cũng vậy $\frac{BB_1}{MB_1}=\frac{S}{S_2}, \frac{CC_1}{MC_1}=\frac{S}{S_3} $
Bởi thế thay vào $(2)$ ta có $Q+3=\frac{S}{S_1}+\frac{S}{S_2}+\frac{S}{S_3}=S(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3})$
Theo Cô-si: $S(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}) \geq \frac{3.S}{\sqrt[3]{S_1S_2S_3}} \geq \frac{3.3.S}{S_1+S_2+S_3}=\frac{9.S}{S}=9$
$\Rightarrow Q+3 \geq 9 \Leftrightarrow Q \geq 6$ Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $S_1=S_2=S_3$
$\Leftrightarrow M$ là trọng tâm $\Delta ABC$ (đpcm)

Bài 111854

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111854

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan